Question

Решите, пожалуйста, дифференциальное уравнение 2y'sinx+ycosx=y³sin²x

Answer 1

Рассмотрите предложенный вариант, оформление не соблюдалось.
Обратите внимание на то, что 4С, записанное в предпоследней строке, в ответе проходит как С (можно записать одинаково).

Answer 2

Данное уравнение можно решить методом разделяющихся переменных.

Начнем с переноса всех членов уравнения на одну сторону:

$2y'\sin x + y\cos x = y^3\sin^2 x$

Далее, разделим обе части уравнения на $y^3 \sin^2 x$:

$\frac{2y'\sin x}{y^3\sin^2 x} + \frac{y\cos x}{y^3\sin^2 x} = 1$

Упрощаем выражение, заменяя $\frac{y'}{y}$ на производную логарифма:

$2\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{y^2}\right)\sin x + \frac{\cos x}{y^2\sin x} = 1$

Теперь интегрируем обе части уравнения по $x$:

$-\frac{2}{y^2}\cos x + \frac{1}{y^2} = x + C$

где $C$ - постоянная интегрирования.

Избавимся от знаменателя, умножив обе части уравнения на $-y^2$:

$2\cos x - 1 = -y^2(x + C)$

Таким образом, мы получили общее решение дифференциального уравнения:

$y(x) = \pm \sqrt{\frac{1 - 2\cos x}{x+C}}$

где $\pm$ соответствует двум возможным знакам корня, а $C$ - произвольная постоянная.