Question

В параллелограмме ABCD точка К середина стороны AD,а точка L середина стороны BC,причем KBLD -прямоугольник с площадью 20 кв.м. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Answer 1

Смотри вложение..............................................извини за качество

Answer 2

Поскольку $KBLD$ - прямоугольник, то $KB = LD$. Кроме того, так как $K$ и $L$ являются серединами сторон $AD$ и $BC$ соответственно, то $AK=KD$ и $BL=LC$.

Пусть $h$ - высота параллелограмма $ABCD$ на сторону $AB$. Тогда площадь параллелограмма равна $S = AB \cdot h$.

Так как $AK=KD$, то треугольник $AKD$ равнобедренный, а значит, высота $h$ опущенная из вершины $A$, делит сторону $KD$ пополам. Аналогично, высота, опущенная из вершины $B$, делит сторону $LC$ пополам.

Таким образом, $KD=2h$ и $LC=2h$.

Из теоремы Пифагора в треугольнике $KBL$, имеем:

$$BL^2 + KB^2 = KL^2.$$

Подставим в эту формулу $BL=LC=2h$ и $KB=LD$:

$$(2h)^2 + LD^2 = KL^2.$$

Также из условия $KBLD$ - прямоугольник с площадью $20 , \text{м}^2$, следует, что $KB \cdot BL = 20$. Подставляя в эту формулу значения $BL=2h$ и $KB=LD$, получаем:

$$2h \cdot LD = 20 \quad \Rightarrow \quad LD = \frac{20}{2h}.$$

Теперь подставим полученные значения $LD$ и $BL$ в формулу для $KL^2$:

$$(2h)^2 + \left(\frac{20}{2h}\right)^2 = KL^2.$$

Упрощая выражение, получаем:

$$4h^2 + 100h^{-2} = KL^2.$$

Таким образом, мы выразили квадрат длины диагонали $KL$ через $h$. Заметим, что диагонали параллелограмма $ABCD$ делятся на $K$ и $L$ пополам. Следовательно, длины диагоналей равны $2KL$ и $2h$, и площадь параллелограмма равна:

$$S = AB \cdot h = 2KL \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (4h^2 + 100h^{-2}) \cdot h = 2h^2 + 50.$$

Из условия $KBLD$ - прямоугольник с площадью $20 , \text{м}^2$ получаем уравнение:

$$2h \cdot LD = 20 \quad \Rightarrow \quad h$$