Question

Пропускная способность большой трубы на 9 м3/ч больше, чем маленькой трубы. Известно, что 16 маленьких труб могут наполнить бассейн на 5 часа быстрее, чем одна большая труба. Найдите, какой наименьший объем (в кубических метрах) может быть у бассейна.

Answer 1

Пусть x - производительность малой трубы, а x+9 - большой. V-объем бассейна 

V/(x+9)-V/16x =5 
приводим к общему знаменателю и выражаем V 
V(x)=80x(x+9)/(15x-9) 

Возьмем производную по x от V(x) и приравняем ее 0.
V'(x)=(1200x²-1440x-6480)/(15x-9)² 
(1200x²-1440x-6480)/(15x-9)² =0 
(x-3)(x+1,8)/(15x-9)²=0 
точка минимума: х=3 

V(3)=80*3(3+9)/(15*3-9) =7

Answer 2

Пусть $x$ - пропускная способность маленькой трубы в м$^3$/ч. Тогда пропускная способность большой трубы равна $(x+9)$ м$^3$/ч.

Заметим, что если 16 маленьких труб могут наполнить бассейн за $t$ часов, то одна маленькая труба наполнит этот бассейн за $16t$ часов. Аналогично, одна большая труба наполнит бассейн за $(16t-5)$ часов.

Объем бассейна можно выразить как произведение пропускной способности трубы на время наполнения бассейна:

$$V = Q \cdot t,$$

где $Q$ - пропускная способность трубы.

Таким образом, имеем два уравнения:

$$V = 16xt,$$

$$V = (16t-5)(x+9)t.$$

Из этих уравнений мы можем выразить $t$ и $V$ через $x$ и решить полученную систему уравнений.

Из первого уравнения следует, что:

$$t = \frac{V}{16x}.$$

Подставляя это выражение для $t$ во второе уравнение, получим:

$$V = \frac{(16V - 80)(x+9)}{16x}.$$

Раскрывая скобки, упрощаем:

$$16x^2 = 144V - 720 - 16Vx - 80x.$$

Выражаем $V$:

$$V = \frac{16x^2 + 720}{16(x-9)}.$$

Замечаем, что $x>9$ (так как пропускная способность большей трубы больше пропускной способности меньшей трубы). Подставляем это выражение для $V$ в первое уравнение:

$$\frac{16x^2 + 720}{16(x-9)} = 16xt.$$

Сокращаем на 16 и получаем квадратное уравнение относительно $x$:

$$x^2 - 9x - 45t = 0.$$

Используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения, получаем:

$$x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{9^2 + 4 \cdot 45t}}{2}.$$

Так как $x>9$, то нужно выбрать корень $x_2$:

$$x_2 = \frac{9 + \sqrt{81 + 180t}}{2}.$$

Подставляем этот корень в выражение для $V$ и получаем ответ:

V = \frac{16x_2^2 + 720}{16