Question

Дам 20 Баллов Каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5 , 7, −8, 9 по одному записывают на 8 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5 , 7, −8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают. а) Может ли в результате получиться 0? б) Может ли в результате получиться 1? в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Answer 1

А : нет  Б : нет  В : 4 А : нет, для получения 0 надо, чтобы хоть одна сумма была равна 0, но в наборах нет чисел, равных по модулю, но противоположных по знаку.Б :: нет благодаря таблице, легко заметить, что в каждой её строке и в каждом столбце есть члены, равные 1 или -1. (Только в этом случае возможно при умножении получить 1.) В : 4 Положительный результат легко получить, выбирая пары одинаковых карточек. По причине, обозначенной в предыдущем случае, приходится выбрать две карточки, сумма каждой из которых равна 2

Answer 2

Для каждой из восьми карточек есть два варианта числа, которое может быть написано на ней, поэтому всего возможно $2^8 = 256$ различных наборов чисел на карточках.

Для каждого набора можно вычислить сумму восьми чисел и перемножить полученные суммы. Так как мы знаем все возможные наборы, мы можем проверить каждый из них и ответить на вопросы.

а) Может ли в результате получиться 0? Да, может. Например, если на первой карточке написано 1, на второй −2, на третьей −3, на четвертой 4, на пятой −5, на шестой 7, на седьмой −8 и на восьмой 9, то полученная сумма будет равна $1 + (-2) + (-3) + 4 + (-5) + 7 + (-8) + 9 = -(-1) = 1$. Если перевернуть любую из этих карточек, то получим набор, дающий сумму, равную 0: $1 + (-2) + (-3) + 4 + (-5) + 7 + (-9) + 8 = 0$

б) Может ли в результате получиться 1? Нет, не может. Рассмотрим произвольный набор из восьми чисел, записанных на карточках. Возможны следующие четыре случая, когда сумма этих восьми чисел положительна, отрицательна, равна 0 или содержит 0:

• все восемь чисел положительны;
• четыре числа положительны, а четыре отрицательны;
• одно число положительно, а остальные семь отрицательны;
• одно число отрицательно, а остальные семь положительны.

В каждом из этих случаев, если мы перевернем любую из карточек, сумма изменится на число, которое не равно 0. Поэтому перемножение сумм не может дать 1.

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться? Мы знаем, что в произведении восьми чисел, которые являются суммами чисел на карточках, может получиться любое нечетное число. Чтобы получить четное число, необходимо, чтобы в произведении был множитель 2. Это возможно только в том случае, когда хотя бы одно из чисел, являющихся суммой на карточке, равно 2. Таким