Question

Точка M делит отрезок, соединяющий точки A(1;1) и B (2;4) , в отношенииAM/BM=3/2 . Если прямая 2x+y=C проходит через точку M, то значение C равно …

Answer 1

Координаты точки М, которая делит отрезок АВ в отношении  $\lambda$ , находятся по формулам:

    $x_{M}= \frac{x_{A}+\lambda \cdot x_{B}}{1+\lambda} \; ,\; \; y_{M}=\frac{y_{A}+\lambda \cdot y_{B}}{1+\lambda } \; .$

Отношение    $\lambda =\frac{AM}{BM}=\frac{3}{2}\; .$  

$x_{M}= \frac{1+2\cdot \frac{3}{2}}{1+\frac{3}{2}}=\frac{1+3}{5/2}=\frac{4\cdot 2}{5}=\frac{8}{5}\; ,\\\\y_{M}=\frac{1+4\cdot \frac{3}{2}}{1+\frac{3}{2}}=\frac{1+6}{5/2}=\frac{7\cdot 2}{5}=\frac{14}{5}\; ,\qquad M(\frac{8}{5}\; ,\; \frac{14}{5})$

Так как точка М лежит на прямой  $l:\; \; 2x+y=C$  , то её координаты удовлетворяют уравнению этой прямой. Подставим координаты точки М в уравнение прямой:

$2x+y=2\cdot \frac{8}{5}+\frac{14}{5}=\frac{16+14}{5}= \frac{30}{5}=6\\\\C=6\; \; \; \Rightarrow \; \; \; l:\; \underline {2x+y=6}$

Answer 2

РЕШЕНИЕ
Находим координату точки М.
Мх = Ах +(Вх - Ах)*3/5 = 1 3/5 = 1,6
Му = Ау + (Ву - Ау)*3/5 = 1 + 3*3/5 = 2,8
Из уравнения прямой получаем
2*Мх + Му = C
С = 2*1.6 + 2,8  = 3.2 + 2.8 = 6 - сдвиг - ОТВЕТ
Получаем уравнение прямой
y = - 2*x + 6 

Answer 3

Найдем координаты точки M. Пусть точка M имеет координаты (x,y). Тогда мы знаем, что отношение расстояний от точки M до точек A и B равно 3/2:

AM/BM = 3/2

Мы можем использовать расстояние между точками формулу, чтобы выразить это отношение в терминах координат:

sqrt((x-1)^2 + (y-1)^2) / sqrt((x-2)^2 + (y-4)^2) = 3/2

Возводим обе части уравнения в квадрат:

((x-1)^2 + (y-1)^2) / ((x-2)^2 + (y-4)^2) = 9/4

Раскрываем квадраты и упрощаем:

4(x-1)^2 + 4(y-1)^2 = 9(x-2)^2 + 9(y-4)^2

4x^2 - 16x + 16 + 4y^2 - 8y + 4 = 9x^2 - 36x + 36 + 9y^2 - 72y + 144

Переносим все слагаемые в левую часть уравнения:

5x^2 - 20x + 5y^2 - 64y - 120 = 0

Данное уравнение является уравнением окружности с центром в точке (2, 8) и радиусом 4.

Так как точка M лежит на отрезке AB, ее координаты должны удовлетворять условиям:

1 <= x <= 2 1 <= y <= 4

Также мы знаем, что точка M лежит на прямой 2x + y = C, то есть ее координаты удовлетворяют этому уравнению:

2x + y = C

Мы можем решить эту систему уравнений, найдя сначала координаты точки M на основе уравнения окружности, а затем подставив их в уравнение прямой и решив относительно C.

Выразим y из уравнения окружности:

y = sqrt(-5x^2 + 20x + 120 - 5)

Подставим это выражение для y в уравнение прямой:

2x + sqrt(-5x^2 + 20x + 120 - 5) = C

Таким образом, значение C равно 2x + sqrt(-5x^2 + 20x + 115) для какого-то значения x в интервале [1,2]. Найдем это значение, используя метод численного решения уравнений. Мы можем использовать, например, метод бисекции или метод Ньютона-Рафсона.