Question

В треугольнике АВС проведена биссектриса СК, АС:ВС = 4:5. Найдите площадь треугольника ВСК, если площадь треугольника АКС равна 40 см2.

Answer 1

Возьмем за основу формулу треугольника через угол: S=a*b*sin(a^b)
То Sakc=KC*AC*sinC=40
Sbck=KC*BC*sinC

Sakc=KC*AC*sinC=40
S bck=KC*BC*sicC=x
сокращаем ВС и sin C, то 4/5=40/х
x=5 (площадь bck)

Answer 2

Пусть $x$ - длина отрезка $CK$, тогда $SK = SC - CK = \frac{5}{9} AC - x$, $AK = AC - CK = \frac{4}{9} AC + x$.

По условию известно, что $\frac{AC}{BC} = \frac{5}{4}$, следовательно $\frac{AC}{AB+AC} = \frac{5}{9}$, откуда $\frac{AB}{AC} = \frac{4}{9}$.

Теперь можем выразить площадь треугольника $AKS$ через $x$: $S_{AKS} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{4}{9} AC + x\right) \cdot \left(\frac{5}{9} AC - x\right) = 40.$

Раскроем скобки и приведем подобные: $\frac{20}{81} AC^2 - x^2 + \frac{20}{9} x - \frac{16}{81} AC^2 = 40,$ $\frac{4}{9} x^2 - \frac{20}{9} x + 40 = 0,$ $x^2 - 5x + 20 = 0.$

Корни этого квадратного уравнения равны $x_1 = 2$, $x_2 = 3$. Но $x=3$ не подходит, так как тогда $SK$ получится отрицательным. Ответ: $S_{BKC} = \frac{1}{2} \cdot BK \cdot CK = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CK \cdot \frac{4}{9} = \frac{2}{9} S_{ABC} = \frac{2}{9} (S_{AKS} + S_{SKB}) = \frac{2}{9} \cdot (40 + 6) = \boxed{10}$ см$^2$.