Question

В треугольнике АВС угол С прямой , АС =9 см и внешний угол при вершине В равен 150° . Найдите мторону АВ

Answer 1

так решается задача я думаю ты знаеш теорема синуса

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов. Из неё следует, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус между ними:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos \angle ACB$$

Угол ACB в данном случае равен 180° - 150° = 30°, так как внешний угол при вершине равен сумме двух внутренних углов, образованных его недостающей стороной и продолжениями соседних сторон.

Теперь можем подставить известные значения:

$$AB^2 = 9^2 + BC^2 - 2 \cdot 9 \cdot BC \cdot \cos 30^\circ$$

$$AB^2 = 81 + BC^2 - 18 BC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$AB^2 = BC^2 - 9 \sqrt{3} BC + 81$$

Вспомним, что в треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон. Так как С - прямой угол, то AB должна быть наибольшей стороной. Значит, $AB < AC + BC = 9 + BC$. Подставим это в неравенство для квадрата:

$$AB^2 < (9 + BC)^2 = BC^2 + 18BC + 81$$

$$AB^2 - BC^2 < 18BC$$

$$(AB - BC)(AB + BC) < 18BC$$

Заметим, что правая часть неравенства положительна, а значит, и левая часть должна быть положительной. То есть $AB > BC$. Поэтому можем записать:

$$AB^2 - BC^2 = 9 \sqrt{3} BC - 81$$

Подставим это выражение в предыдущее уравнение:

$$9 \sqrt{3} BC - 81 < 18BC$$

$$9 \sqrt{3} BC < 99$$

$$BC < \frac{11}{\sqrt{3}}$$

Теперь можем найти $AB$:

$$AB^2 = 9^2 + BC^2 - 2 \cdot 9 \cdot BC \cdot \cos 30^\circ = 81 + BC^2 - 9BC\sqrt{3}$$

AB^2 = 81 + \left(\frac{11}{\sqrt{3}}\right)^2 - 9 \cdot \frac{11}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = 81 + \frac{121}{3} - 99 = \frac{