Question

Верно ли, что в любой точке, где функция непрерывна, к ее графику можно провести касательную?

Answer 1

Кажется нет не верно

Answer 2

Нет, это утверждение неверно. Наличие касательной к графику функции в некоторой точке требует не только непрерывности функции в этой точке, но и дифференцируемости функции в этой точке.

Функция называется дифференцируемой в точке, если ее приращение может быть аппроксимировано линейной функцией, т.е. касательной. Если функция не является дифференцируемой в некоторой точке, то к ее графику нельзя провести касательную в этой точке.

Примером функции, которая непрерывна во всех точках, но не дифференцируема в некоторых точках, является модуль функции $f(x) = |x|$. В точке $x = 0$ функция не является дифференцируемой, и ее график имеет "угловую" точку, в которой к нему нельзя провести касательную.