Question

Решите уравнение 2sin^2x=cosx+1

Answer 1

2sin^2x = cosx + 1

2 * (1 - cos^2x) = cosx + 1

2 - 2cos^2x = cosx + 1

2cox^2x + cosx - 1 = 0

D = 1 + 8 = 9

cosx = (-1 + 3)/4 = 1/2

cosx = (-1-3)/4 = -1

x = +- π/3 + 2πk, k ∈ Z

x = π + 2πn, n ∈ Z

Answer 2

Начнем с приведения правой части к тригонометрическому выражению, содержащему синус:

cos x + 1 = cos x + cos 0 = 2 cos (x/2) cos (x/2) + cos 0

Применим формулу тригонометрии sin^2(x) + cos^2(x) = 1, чтобы выразить cos(x) через sin(x):

cos x = sqrt(1 - sin^2 x)

Теперь подставим это выражение для cos(x) в начальное уравнение:

2sin^2x = sqrt(1 - sin^2 x) + 1

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

4sin^4x = (1 - sin^2 x) + 2sqrt(1 - sin^2 x) + 1

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

4sin^4x + sin^2 x - 2sqrt(1 - sin^2 x) = 0

Выделим из этого уравнения полный квадрат:

(2sin^2x - 1 + sqrt(1 - sin^2 x))(2sin^2x - 1 - sqrt(1 - sin^2 x)) = 0

Теперь решим два квадратных уравнения относительно sin(x):

2sin^2x - 1 + sqrt(1 - sin^2 x) = 0 или 2sin^2x - 1 - sqrt(1 - sin^2 x) = 0

Решая первое уравнение, получим:

2sin^2x - 1 = -sqrt(1 - sin^2 x)

(2sin^2x - 1)^2 = 1 - sin^2 x

4sin^4x - 4sin^2x + 1 = 1 - sin^2 x

4sin^4x - 3sin^2x = 0

sin^2x(4sin^2x - 3) = 0

sin^2x = 0 или sin^2x = 3/4

Так как sin^2x не может быть отрицательным, то решение этого уравнения sin^2x = 0 дает единственное решение x = 0.

Решая второе уравнение, получим:

2sin^2x - 1 = sqrt(1 - sin^2 x)

(2sin^2x - 1)^2 = 1 - sin^2 x

4sin^4x - 4sin^2x + 1 = 1 - sin^2 x

4sin^4x - 3sin^2x - 1 = 0

Решая это квадратное уравнение, получим:

sin^2x = (3 ± sqrt(5))/4

Так как sin^2x не может быть больше 1, то решение этого уравнения только одно:

sin^2x = (3 - sqrt(5))/4

sinx = ±sqrt((3