Question

В шахматном кружке проводился турнир в младшей группе обучающихся, в рамках которого каждый участник играл св каждым другим по одной партии. За победу начислялось -2 очка, за ничью - 1 очко, а за поражение - 0 очков. Всего в турнире участвовало 5 ребят.Рита заняла второе место, набрав при этом ровно столько же сколько Илья, Люба и Олег вместе взятые. Сколько очков набрал Стас, занявший первое место. Помогите пожалуйста срочно! (даю 30 баллов).

Answer 1

Так как каждый из пяти игроков сыграл с другими по одной партии, то общее количество партий  будет 4+3+2+1 = 10. В каждой партии, независимо от того, закончилась она ничьей или нет раздается по два очка, следовательно общее количество набранных игроками за весь турнир очков будет равно 2*10 = 20. Пусть Стас набрал x очков, а Илья, Люба и Олег вместе набрали y очков, тогда по условию Рита также набрала y очков. Составляем уравнение для очков: x + 2y = 20 => 2y = 20 - x. Так как слева стоит четное число, то x может быть только четным. Пусть Стас во всех четырех партиях одержал победу. Тогда x = 2*4 = 8 и 2y = 20 - 8 = 12 => y = 12/2 = 6. То есть Рита набрала 6 очков и заняла второе место. Если предположить, что Стас оджержал 2 победы и сыграл 2 партии вничью, то имеем x = 2*2 + 2= 6. Тогда 2y = 20 - 6 = 14 => y = 14/2 = 7. Т. е. Рита набрала больше очков, чем Стас. Противоречие. Таким образом единственный ответ x = 8.

Ответ: Стас набрал 8 очков. 

Answer 2

Давайте обозначим количество очков, которое набрал каждый участник турнира. Пусть Рита набрала R очков, Стас набрал S очков, Илья набрал I очков, Люба набрала L очков, и Олег набрал O очков.

Так как каждый участник играл со всеми другими по одной партии, то общее количество игр было равно $\binom{5}{2}=10$. Каждая игра заканчивалась победой одного из игроков или ничьей, так что всего в турнире было заработано $2\cdot 10 = 20$ очков.

Рита заняла второе место и набрала столько же очков, сколько Илья, Люба и Олег вместе взятые. То есть $R = I + L + O$. Мы также знаем, что каждый участник сыграл по 4 игры (так как всего было 10 игр, а каждая игра имела двух участников). Поэтому общее количество очков, заработанных всеми участниками турнира, можно записать как:

$S = R + 2S + I + L + O.$

Здесь первое слагаемое $R$ - это количество очков, заработанных Ритой, второе слагаемое $2S$ - это количество очков, заработанных Стасом (он выиграл все 4 свои игры), а сумма $I+L+O$ - это количество очков, заработанных Ильей, Любой и Олегом вместе взятые.

Решим систему уравнений, состоящую из двух уравнений, используя известное условие, что $R=2\cdot(-2)+2\cdot(-1)+0= -6$ (так как Рита заняла второе место, то она выиграла две игры, сыграла одну вничью и проиграла одну):

$\begin{cases} R = I + L + O \\ S = R + 2S + I + L + O \end{cases}$

Подставляем $R = -6$ и получаем:

$\begin{cases} -6 = I + L + O \\ S = -6 + 2S + I + L + O \end{cases}$

Выразим $S$ из второго уравнения:

$S = -6 + 2S + (I+L+O) = -6 + 2S - 6 = -12 + 2S$

Откуда $S=12$ - количество очков, набранных Стасом, занявшим первое место.

Чтобы найти количество очков, набранных Ильей,