Question

Решить дифференциальное уравнение (1+x^2)*y'=2*x+x*y

Answer 1

Решила вмё верно
я хорошо решаю

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения мы можем использовать метод разделения переменных.

Дифференциальное уравнение имеет вид: (1 + x^2)y' = 2x + xy

Давайте разделим переменные, переместив все выражения, содержащие y и y', на соответствующие стороны уравнения:

y'/(2x + xy) = 1/(1 + x^2)

Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны уравнения. Давайте рассмотрим каждую сторону отдельно:

∫y'/(2x + xy) dx = ∫1/(1 + x^2) dx

Левую сторону можно интегрировать, заменив y' на dy/dx:

∫(dy/dx)/(2x + xy) dx = ∫1/(1 + x^2) dx

Интегрируя обе стороны, получим:

∫(1/y) dy = ∫1/(1 + x^2) dx

Давайте рассмотрим каждую сторону отдельно.

∫(1/y) dy = ln|y| + C1, где C1 - постоянная интегрирования.

∫1/(1 + x^2) dx = arctan(x) + C2, где C2 - постоянная интегрирования.

Теперь, объединяя результаты, получим:

ln|y| + C1 = arctan(x) + C2

Мы можем объединить постоянные интегрирования в одну, обозначив ее C:

ln|y| = arctan(x) + C

Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон уравнения, чтобы избавиться от натурального логарифма:

|y| = e^(arctan(x) + C)

Поскольку экспонента всегда положительна, мы можем убрать модуль:

y = ±e^(arctan(x) + C)

Итак, общее решение данного дифференциального уравнения:

y = ±e^(arctan(x) + C), где C - произвольная постоянная.

Это уравнение представляет собой семейство кривых, которые являются решением исходного дифференциального уравнения. Выбор значения C позволяет нам получить конкретную кривую из этого семейства.