Question

Найти общее решение ДУ:y''+y'=

Answer 1

Полное решение ДУ приведено на фотографии.

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение выглядит как уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и неоднородностью равной нулю.

Чтобы найти его общее решение, нужно сначала найти характеристическое уравнение, связанное с однородной частью этого уравнения:

r^2 + r = 0

Решив это квадратное уравнение, мы находим два корня:

r_1 = 0, r_2 = -1

Таким образом, общее решение однородной части уравнения имеет вид:

y_h = c_1e^(0x) + c_2e^(-1x)

где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Чтобы найти общее решение неоднородного уравнения, мы можем воспользоваться методом вариации постоянных. Поскольку правая часть равна нулю, мы можем предположить, что решение неоднородной части имеет вид y_p = A, где A - постоянная.

Тогда подставляем это предположение в исходное уравнение:

0 + A' = 0

Отсюда следует, что A' = 0, и поэтому A - произвольная постоянная.

Таким образом, общее решение неоднородного уравнения имеет вид:

y = y_h + y_p = c_1e^(0x) + c_2e^(-1x) + A

где c1, c2 и A - произвольные постоянные.