Question

три числа образуют геометрическую прогрессию,в которой q>1. Их можно рассматривать соответственно как первый,третий и девятый члены арифметической прогрессии. Найдите наибольшее из чисел,если их сумма равна 91

Answer 1

An - члены арифметической прогрессии
Bn - члены геометрической прогрессии

A₁+A₃+A₉=91
A₁+(A₁+2d)+(A₁+8d)=91
3A₁+10d=91
3A₁=91-10d
A₁= 91-10d
         3

A₁=B₁
A₃=B₂=B₁q=A₁q
A₉=B₃=B₁q²=A₁q²

A₃=A₁q
A₁+2d=A₁q

A₉=A₁q²
A₁+8d=A₁q²

{A₁q=A₁+2d
{A₁q²=A₁+8d

q= A₁+2d
       A₁
A₁ (A₁+2d)² = A₁+8d
          A₁²
(A₁+2d)² = A₁+8d
     A₁
(A₁+2d)²=A₁(A₁+8d)
A₁²+4A₁d+4d²=A₁²+8A₁d
A₁²-A₁²+4A₁d-8A₁d+4d²=0
-4A₁d+4d²=0
-4d(A₁-d)=0
-4d=0                    A₁-d=0
d=0                       A₁=d
не подходит

91-10d = d
    3
91-10d=3d
-10d-3d=-91
-13d=-91
d=7

A₁=7
A₃=7+2*7=7+14=21
A₉=7+8*7=7+56=63

7; 21; 63 - геометрическая прогрессия
63 - наибольшее число
Ответ: 63.

Answer 2

Пусть первый член геометрической прогрессии равен $a$, а затем следующие два члена равны $aq$ и $aq^2$. Тогда мы можем составить систему уравнений на основе информации о том, что эти числа являются первым, третьим и девятым членами арифметической прогрессии:

$$\begin{aligned} a + 2d &= aq \\ a + 8d &= aq^2 \\ a + 20d &= aq^3 \\ \end{aligned}$$

где $d$ - общая разность арифметической прогрессии.

Мы можем решить эту систему уравнений, выразив $a$ и $d$ через $q$, используя первые два уравнения:

$$\begin{aligned} a &= \frac{2d}{q-1} \\ d &= \frac{aq}{2} - a \\ &= \frac{a(q^2-2)}{2(q-1)} \end{aligned}$$

Затем мы можем использовать третье уравнение, чтобы выразить $q$ через $a$ и $d$:

$$\begin{aligned} a + 20d &= aq^3 \\ \frac{2d}{q-1} + 10a(q^2-2) &= \frac{2aq^3}{q-1} \\ 2d(q^2-2) + 10a(q^2-2)(q-1) &= 2aq^2 \\ 2d(q^2-2) + 5a(q^2-2)(2q-2) &= 2aq^2 \\ 2d(q^2-2) + 5a(q^2-2)q(q-1) &= 2aq^2 \\ \end{aligned}$$

Затем мы можем использовать сумму трех чисел, чтобы выразить $a$ и $d$ через $q$:

$$\begin{aligned} a + aq + aq^2 &= 91 \\ a(q^2+q+1) &= 91 \\ a &= \frac{91}{q^2+q+1} \\ d &= \frac{aq(q^2-2)}{2(q-1)} \\ &= \frac{91q(q^2-2)}{2(q-1)(q^2+q+1)} \\ \end{aligned}$$

Теперь мы можем составить выражение для суммы трех чисел в терминах $q$:

$$\begin{aligned} a + aq + aq^2 &= \frac{91(q^2+q+1)}{q^2+q+1} + \frac{91q(q^2+q+1)}{q^2+q+1} + \frac{91q^2(q^2+q+1)}{q^2+q+1} \\ &= \frac{91(q^4+2q^3+3q^2+2q+1)}{q^2+q+1} \\ \end{aligned}$$