Question

Найти частное решение дифференциального уравнения: ydx + ctgxdy= 0, y =-1, x =π/3

Answer 1

$ydx+ctgx \, dy=0 \\ ydx=-ctgx \, dy \\ -\int \frac{dx}{ctgx} = \int \frac{dy}{y} \\ -\int tgx \, dx = \int \frac{dy}{y} \\ - \int \frac{Sinxdx}{Cosx} = \int \frac{dy}{y} \\ \int \frac{d(Cosx)}{cosx} = \int \frac{dy}{y} \\ ln|Cosx|+C=ln|y| \\ e^{ln|y|}=e^{ln|Cosx|+C} \\ |y|=e^C|Cosx| \\ y=бe^CCosx \\ y=C_1Cosx$
$y=-1 \ x= \frac{ \pi }{3} \\ y( \frac{ \pi }{3} )=C_1Cos\frac{ \pi }{3} =C_1* \frac{1}{2} = \frac{C_1}{2} =-1 \\ C_1=-2$
Ответ: y=-2Cosx

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения необходимо разделить его на x и y:

ydx + ctg(x)dy = 0

dy/dx = -y ctg(x)

Затем решим уравнение методом разделения переменных:

dy/y = -ctg(x) dx

Проинтегрируем обе стороны:

ln|y| = -ln|sin(x)| + C

где С - постоянная интегрирования.

Используя начальные условия y = -1 при x = π/3, мы можем найти значение постоянной С:

ln|-1| = -ln|sin(π/3)| + C

C = ln(√3)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

ln|y| = -ln|sin(x)| + ln(√3)

ln|y| = ln(√3/sin(x))

y = ± √(3/sin(x))

Используя начальное условие y = -1 при x = π/3, мы можем найти частное решение:

y = -√(3/sin(x)) = -√(3/√3/2) = -√2

Таким образом, частное решение данного дифференциального уравнения ydx + ctg(x)dy = 0, y = -1, x = π/3, равно y = -√2.