Question

Пусть f (x)=x3 (x-3) решить неравенство f'(x)>0​

Answer 1

$f(x)=x^3(x-3)\\f'(x)=3x^2(x-3)+x^3\\3x^3-9x^2+x^3>0\\4x^3-9x^2>0\\x^2*(4x-9)>0$

так как x^2 всегда положительный на него можно сократить, рассмотрим 2 случая:

$x^2=0:\\0>0$ в данном случае решений нет, значит x≠0.

$4x-9>0\\4x>9\\x>\frac{9}{4}$

Ответ: x∈(2.25;+∞)

Answer 2

Для решения данного неравенства, необходимо вычислить производную функции f(x) и найти интервалы, на которых она положительна.

Используя правило производной произведения, получаем:

f'(x) = 3x^2(x-3) + x^3(-1) = 3x^3 - 9x^2 - x^3 = 2x^3 - 9x^2

Далее, чтобы найти интервалы, на которых производная положительна, нужно найти корни уравнения f'(x) = 0 и построить знаковую таблицу производной.

2x^3 - 9x^2 = 0

x^2(2x-9) = 0

x1 = 0, x2 = 9/2

Теперь построим знаковую таблицу производной:

Copy code
x < 0          0 < x < 9/2           x > 9/2

---

f'(x) | - | + | +

Из таблицы видно, что f'(x) > 0 на интервалах (-∞, 0) и (9/2, +∞).

Таким образом, решением неравенства f'(x) > 0 являются интервалы (-∞, 0) и (9/2, +∞).