Question

В правильной треугольной пирамиде боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 30°, сторона основания равна 12 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. Можно и рисунок буду благодарен!

Answer 1

Проекция бокового ребра на основание равна (2/3)h, где h - высота основания. 
h = a*cos 30° = 12*(√3/2) = 6√3 см.
(2/3)h = (2/3)*6√3 = 4√3 см.
Отсюда находим высоту H пирамиды: Н = (2/3)h*tg30° = 4√3*(1/√3) = 4 см.
Теперь находим апофему А, проекция которой тна основание равна (1/3)h = (1/3)*6√3 = 2√3 см.
А = √(((1/3)h)² + H²) = √(12+16) = √28 = 2√7 см.
Площадь So основания равна:
So = a²√3/4 = 144√3/4 = 36√3 см².
Площадь Sбок боковой поверхности равна:
Sбок = (1/2)Р*А = (1/2)*3*12*2√7 = 36√7 см².
Полная площадь S поверхности равна:
S = So + Sбок = 36√3 + 36√7 = 36(√3  + √7) см².

Answer 2

Для начала нарисуем схему данной пирамиды:

cssCopy code
       A
      / \
     /   \
    /     \
   /       \
  B---------C
   \       /
    \     /
     \   /
      \ /
       D

Здесь точка A - вершина пирамиды, а B, C и D - вершины основания. Отрезки AB, AC и AD - боковые ребра пирамиды.

Заметим, что треугольник BCD является равносторонним, так как его стороны равны 12 см. Значит, угол между боковым ребром AB и основанием BCD равен 30°.

Обозначим через h высоту пирамиды, а через l - длину бокового ребра AB. Тогда, используя теорему Пифагора для треугольника ABD, получаем:

scssCopy code
h^2 + (l/2)^2 = (BC)^2 = 12^2

Отсюда:

scssCopy code
h^2 = 144 - (l/2)^2

Заметим также, что боковая поверхность пирамиды состоит из четырех равных треугольников. Площадь одного такого треугольника равна:

makefileCopy code
S_1 = (l * h) / 2

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна:

makefileCopy code
S_b = 4 * S_1 = 2 * l * h

Площадь основания пирамиды равна:

scssCopy code
S_osn = (BC)^2 * sqrt(3) / 4 = 36 * sqrt(3) / 4 = 9 * sqrt(3)

Наконец, площадь полной поверхности пирамиды равна:

scssCopy code
S = S_b + S_osn = 2 * l * h + 9 * sqrt(3)

Осталось найти l и h. Из уравнения для h^2 получаем:

scssCopy code
h = sqrt(144 - (l/2)^2)

Заметим также, что треугольник ABD является прямоугольным, поэтому:

scssCopy code
l^2 + h^2 = AB^2 = (2*BC)^2 = 48^2

Подставляем сюда h и получаем:

scssCopy code
l^2 + 144 - (l/2)^2 = 2304

Отсюда находим l:

scssCopy code
3/4 * l^2 = 2160
l^2 = 2880
l = sqrt(2880) = 24 * sqrt(2)

Теперь можем найти h:

scssCopy code
h = sqrt(144 - (l/2)^2) = 6 * sqrt(6)

И, наконе