Question

Найти частное решение уравнения у"-10у'+25у=0 у=1 у'=8 при х=0

Answer 1

Найти частное     решение уравнения у"-10у'+25у=0 у=1 у'=8 при х=0


у"-10у'+25у=0 

1) k²-10k+25=0      k1=5    k2=5

ФСР  y1=e^(5x)       y1=x·e^(5x)

y=C1·(y1)+C2·(y2)=C1·(e^(5x) )+C2·(x·e^(5x) )

решение задачи Коши

у=1 у'=8 при х=0
y(0)=C1·(e^(5·0) )+C2·(0·e^(5·0) )=1
          C1+0=1
y'=C1·(y1)'+C2·(y2)'=5·C1·(e^(5x) )+C2·(e^(5x)+5x·e^(5x) )
y'(0)=5·C1·(e^(5·0) )+C2·(e^(5·0)+5·0·e^(5·0) )=8
           5·C1+C2·(1 )=8



 C1+0=1
 5·C1+C2·(1 )=8   ⇔   C2=8-5=3

решение задачи Коши   y=1·(e^(5x) )+3·(x·e^(5x) )

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения мы можем использовать характеристическое уравнение:

r^2 - 10r + 25 = 0

Это квадратное уравнение имеет единственный корень r=5, который имеет кратность 2. Следовательно, общее решение уравнения имеет вид:

y(x) = (c1 + c2 x) e^(5x)

где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Чтобы найти частное решение, мы должны использовать начальные условия:

y(0) = 1, y'(0) = 8

Из первого условия мы можем найти значение постоянной c1:

y(0) = c1 e^(0) = c1 = 1

Из второго условия мы можем найти значение постоянной c2:

y'(x) = 5(c1 + c2 x) e^(5x)

y'(0) = 5(c1 + c20) e^(50) = 5c1 = 5

c1 = 1, значит, c2 = (y'(0)/5) - c1 = (8/5) - 1 = 3/5

Таким образом, частное решение имеет вид:

y(x) = (1 + (3/5)x) e^(5x)