Question

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения окружности х2+у2=17 и прямой 5х-3у=17

Answer 1

Чтобы найти точки пересечения, нужно объединить два уравнения в систему.
$\left \{ {{x^2+y^2=17} \atop {5x=17+3y}} \right. \\ \left \{ {{( \frac{17+3y}{5} )^2+y^2=17} \atop {x=\frac{17+3y}{5}}} \right. \\ \left \{ {{ \frac{289+102y+9y^2}{25}+y^2-17=0 } \atop {x=\frac{17+3y}{5}}} \right. \\ \left \{ {{289+102y+9y^2+25y^2-425=0} \atop {x=\frac{17+3y}{5}}} \right. \\ \left \{ {{34y^2+102y-136=0} \atop {x=\frac{17+3y}{5}}} \right. \\ \left \{ {{y^2+3y-4=0} \atop {x=\frac{17+3y}{5}}} \right. \\ \left \{ {{y=-4} \atop {x=1}} \right. \left \{ {{y=1} \atop {x=4}} \right.$

Ответ: (1; -4), (4; 1)

Answer 2

Чтобы найти координаты точек пересечения окружности и прямой без построения, можно использовать метод подстановки. Нам дана окружность с уравнением x^2 + y^2 = 17 и прямая с уравнением 5x - 3y = 17.

Для начала, решим уравнение прямой относительно одной переменной. Выразим x через y:

5x - 3y = 17 5x = 3y + 17 x = (3y + 17) / 5

Теперь подставим это выражение для x в уравнение окружности:

(3y + 17)^2 / 25 + y^2 = 17

Упростим это уравнение:

(9y^2 + 102y + 289 + 25y^2) / 25 + y^2 = 17 9y^2 + 102y + 289 + 25y^2 + 25y^2 = 17 * 25 59y^2 + 102y + 289 = 425 59y^2 + 102y - 136 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение для y. Мы можем использовать квадратное уравнение или факторизацию, чтобы найти корни. Решая его, мы найдем значения y, а затем подставим их обратно в исходное уравнение, чтобы найти соответствующие значения x.

После решения получим координаты точек пересечения окружности и прямой.