Question

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 9^x-2(a-3)*3^x+a^2-8a+7=0 имеет единственный корень

Answer 1

Решаем данное уравнение как квадратное уравнение относительно $3^x$

$D=4(a-3)^2-4(a^2-8a+7)=4(a^2-6a+9-a^2+8a-7)=8(a+1)$

Если D = 0, т.е. a+1 = 0 откуда  a = -1, то подставляя этот параметр в исходное уравнение, мы получим

$9^x+8\cdot 3^x+16=0\\ \\ (3^x+4)^2=0\\ \\ 3^x+4=0$

Это уравнение решений не имеет, т.к. левая часть уравнения принимает только положительные значения.

Если $D>0$, т.е. a + 1 > 0   откуда   a>-1, то нам нужны лишь те корни, которые приобретают разные знаки, т.е. по теореме Виета:

$a^2-8a+7$

$(a-1)(a-7)$

Подставим параметры a = 1 и a = 7 в исходное уравнение, получим

a=1 : $9^x+4\cdot 3^x=0$

Это уравнение корней не имеет, т.к. левая часть уравнения всегда положительно.

a = 7: $9^x-8\cdot 3^x=0\\ \\ 3^x(3^x-8)=0~~~\Rightarrow~~~ 3^x-8=0~~~~\Rightarrow~~~ x=\log_38\\ \\ 3^x=0~~~\Rightarrow~~~ \O$

Т.е. исходное уравнение имеет единственный корень только при $a \in (1;7].$

Answer 2

Для того чтобы уравнение имело единственный корень, дискриминант должен быть равен нулю. Найдем дискриминант и приравняем его к нулю:

D = b^2 - 4ac

где a = 1, b = -2(a-3), и c = a^2 - 8a + 7. Подставляем значения и приравниваем D к нулю:

(-2(a-3))^2 - 4(1)(a^2 - 8a + 7) = 0

4a^2 - 36a + 36 - 4a^2 + 32a - 28 = 0

-4a + 8 = 0

a = 2

Проверим, что при a = 2 уравнение имеет единственный корень:

9^x - 2(2-3)*3^x + 2^2 - 8(2) + 7 = 0

9^x - 6*3^x - 9 = 0

Заметим, что x = 1 является корнем уравнения. Для того, чтобы убедиться, что это единственный корень, нужно доказать, что функция y = 9^x - 6*3^x - 9 не имеет других корней.

Заметим, что y = 9^x - 63^x - 9 является монотонно возрастающей функцией, так как ее производная равна y' = 9^xln(9) - 63^xln(3) > 0 для всех x. Кроме того, y(0) = -16 и y(2) = 72 - 6*9 - 9 = 6 > 0, что означает, что у функции есть единственный корень на интервале (0, 2).

Итак, единственное значение параметра a, при котором уравнение имеет единственный корень, равно a = 2.