Question

Y=x в кубе + 6х в квадрате + 9х найти интервалы возрастания,убывания и экстремумы интервалы выпуклости,вогнутости и точки перегиба

Answer 1

ДАНО
Y = x³ + 6x² + 9x.
ИССЛЕДОВАНИЕ.
1. Область определения - непрерывность - разрывов нет.
Х∈(-∞,+∞)
2. Пересечение с осью Х.
Y=0, при x1 = x2 = 0   x3 = -3.
3. Пересечение с осью У.
Y(0) = 0.
4. Поведение на бесконечности.
Y(-∞) = -∞
Y(+∞) = +∞
5. Исследование на четность.
Y(-x) = -x³ + 6x² - 9x
Y(x) = x³ + 6x² + 9x
Функция ни чётная ни нечетная.
6. Производная функции.
Y' = 3x² - 12x+ 9
7. Поиск экстремумов - нули производной.
Решение квадратного уравнения.
Y' = (x+1)(x+3) = 0
x1 = -1  Ymin(-1) = -4
x2 = -3  Ymax(-3) = 0.
8. Монотонность.
Возрастает - Х∈(-∞,-3]∪[-1,+∞)
Убывает - X∈[-3,-1].
9.  Вторая производная.
Y" = 6x+12
10. Точка перегиба
Y" =6*(x+2) = 0
X = -2.
11 Выпуклая - "горка" - X∈(-∞, -2]
Вогнутая - "ложка" - X∈[-2,+∞)
12. График прилагается.

Answer 2

Чтобы найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции Y = x^3 + 6x^2 + 9x, мы сначала найдем ее производную и решим уравнение Y' = 0.

Y' = 3x^2 + 12x + 9

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания, мы анализируем знак производной.

Для этого решим неравенство Y' > 0:

3x^2 + 12x + 9 > 0

Решим это неравенство, используя метод интервалов знаков. Факторизуя его, мы получаем:

3(x + 1)(x + 3) > 0

Здесь у нас два фактора: (x + 1) и (x + 3).

Рассмотрим каждый фактор отдельно:

1. (x + 1) > 0: Это неравенство выполняется, когда x > -1.

2. (x + 3) > 0: Это неравенство выполняется, когда x > -3.

Теперь мы можем определить интервалы возрастания и убывания:

• Бесконечность < x < -3: функция Y убывает.
• -3 < x < -1: функция Y возрастает.
• x > -1: функция Y убывает.

Теперь найдем точки экстремума, решив уравнение Y' = 0:

3x^2 + 12x + 9 = 0

Факторизуем это уравнение:

(x + 1)(x + 3) = 0

Отсюда получаем две точки экстремума:

1. x + 1 = 0 -> x = -1
2. x + 3 = 0 -> x = -3

Теперь рассмотрим интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Чтобы определить их, мы анализируем знак второй производной.

Y'' = 6x + 12

Анализируя знак второй производной, мы можем определить интервалы выпуклости и вогнутости:

1. Когда Y'' > 0 (положительная вторая производная), функция Y выпукла вверх.
2. Когда Y'' < 0 (отрицательная вторая производная), функция Y вогнута вниз.

Рассмотрим знак второй производной:

6x + 12 > 0

6x > -12

x > -2

Таким образом, функция Y выпукла вверх на интервале x > -2.

Теперь найдем точку перегиба, решив уравнение Y''