Question

Найдите наименьшее значение функции y=x^4-2x^3-3 на [0;2]

Answer 1

***********************************

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции на заданном интервале нужно найти точку, в которой достигается минимум. Для этого нужно найти производную функции, приравнять её к нулю и проверить, является ли найденная точка точкой минимума.

Вычислим производную функции:

y' = 4x^3 - 6x^2

Приравняем производную к нулю и найдем корни уравнения:

4x^3 - 6x^2 = 0

2x^2(2x-3) = 0

x1 = 0, x2 = 3/2, x3 = 0

Точки x1 и x3 не лежат на интервале [0;2], поэтому исключаем их. Остается только одна критическая точка x2 = 3/2.

Теперь нужно проверить, является ли найденная точка минимумом функции. Для этого можно использовать вторую производную:

y'' = 12x^2 - 12x

Подставим найденную критическую точку во вторую производную:

y''(3/2) = 12(3/2)^2 - 12(3/2) = -9

Так как вторая производная отрицательна в точке x2, то это точка минимума функции на интервале [0;2].

Теперь найдем значение функции в этой точке:

y(3/2) = (3/2)^4 - 2(3/2)^3 - 3 = -47/16

Итак, наименьшее значение функции на интервале [0;2] равно -47/16 и достигается в точке x=3/2.