Question

Найдите наименьшее число, записываемое одними единицами, которое делилось бы на число, состоящее из ста троек

Answer 1

Это число делится на 3 и на сто однерок, к примеру можно дать число из 300 однерок.
например. Число состоящее из однерок, которое при делении на число состоящее из однерок, возможно только при кратном к количеству однерок в делителе, например 1111, или 111111 делится на 11. В дополнение при условии делимости на 3, кратность однерок должна быть по формуле 3*n, к примеру 111111 делится на 11 и на 3, а значит и на 33. Так вот 300 однерок будет делится на 100 однерок и на 3, а значит и на 33.

Answer 2

Число, состоящее из ста троек, записывается как $1\underbrace{33\ldots3}_{100\text{ троек}}$. Для того чтобы найти число, состоящее из одних единиц и делящееся на это число, мы можем воспользоваться теорией остатков.

Обозначим число, состоящее из ста троек, как $N$. Заметим, что остаток от деления $N$ на 9 равен 1: $N \equiv 1 \pmod{9}$. Это следует из того, что сумма цифр числа $N$ равна $1 + 3 \cdot 100 = 301$, и по теореме об остатках эта сумма сравнима с $N$ по модулю 9.

Теперь мы можем воспользоваться тем фактом, что если число делится на 9, то оно также делится и на 3. Таким образом, нам нужно найти наименьшее число, состоящее из одних единиц, которое делится на 3 и имеет остаток 1 при делении на 9.

Наименьшее такое число может быть записано как $111\ldots 10$, где количество единиц равно $k$, и остаток от деления на 9 равен 1. Мы знаем, что $10 \equiv 1 \pmod{3}$, так что этот остаток не зависит от количества единиц, и мы можем проигнорировать последнюю цифру числа. Тогда условие на остаток при делении на 9 переписывается как $k \equiv 1 \pmod{9}$.

Наименьшее такое $k$, что $k$ делится на 3 и сравнимо с 1 по модулю 9, равно $k = 10$. Таким образом, искомое число равно $1111111110$, и оно делится на число, состоящее из ста троек.