Question

На двух параллельных прямых отметили семь точек: три на одной и четыре на другой. Сколько существует четырёхугольников с вершинами в этих точках?

Answer 1

7/Задание № 7:

На двух параллельных прямых отметили семь точек: три на одной и четыре на другой. Сколько существует четырёхугольников с вершинами в этих точках?

РЕШЕНИЕ: Понятно, что две точки нужно выбрать с одной прямой, а две - с другой, иначе три точки будут лежать на одной прямой и в качестве фигуры получится треугольник.

Выбрать две точки с первой прямой: $C_3^2= \frac{3*2}{1*2} =3$ способа

Выбрать две точки со второй прямой: $C_4^2= \frac{4*3}{1*2} =6$ способов

Так как выбор независим, то выбрать 4 точки можно 3*6=18 способами, то есть имеется 18 четырёхугольников.

ОТВЕТ: 18 четырёхугольников

Answer 2

Чтобы найти количество четырехугольников, образованных из этих точек, нужно выбрать 4 точки из 7. Это можно сделать ${7 \choose 4} = \frac{7!}{4!3!} = 35$ способами.

Однако не все такие выборы точек образуют различные четырехугольники. Если все четыре точки лежат на одной прямой, то это не является четырехугольником. Если три точки лежат на одной прямой, а четвертая лежит на другой параллельной прямой, то это также не является четырехугольником, так как в этом случае четырехугольник вырождается в треугольник.

Таким образом, мы должны исключить все такие выборы точек, которые образуют вырожденные четырехугольники. Количество таких выборов можно определить следующим образом:

• Выберем 4 точки из 3 на одной прямой. Это можно сделать ${3 \choose 4} = 0$ способами.
• Выберем 4 точки из 4 на одной прямой. Это можно сделать ${4 \choose 4} = 1$ способом.
• Выберем 3 точки из 3 на одной прямой и одну точку на другой параллельной прямой. Это можно сделать ${3 \choose 3} \cdot {4 \choose 1} = 4$ способами.
• Выберем 3 точки из 4 на одной прямой и одну точку на другой параллельной прямой. Это можно сделать ${4 \choose 3} \cdot {4 \choose 1} = 16$ способами.

Таким образом, количество различных четырехугольников, которые можно образовать из этих 7 точек на двух параллельных прямых, равно $35 - 1 - 4 - 16 = \boxed{14}$.