Question

У прямокутному трикутнику АВС з гіпотенузою АВ знайдіть бісектрису СД, якщо кутА=30°, АД=8√2

Answer 1

Розв'язання завдання додаю

Answer 2

Решение на фото. Используем теорему синусов

Answer 3

Для знаходження бісектриси СД спочатку знайдемо довжину сторони ВС за теоремою Піфагора:

BC^2 = AB^2 - AC^2 = (2AD)^2 - AD^2 = 3AD^2

BC = AD * √3

Тепер можемо знайти площу трикутника ABC:

S = (1/2) * AB * BC = (1/2) * AB * AD * √3 = (1/2) * 16√2 * 8√3 = 64√6

Також площу можна обчислити за допомогою формули Герона, яка дає:

S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]

де s - півпериметр трикутника, a, b, c - довжини сторін.

Таким чином, отримуємо:

s = (AB + BC + AC)/2 = (16√2 + 8√2 + 8AD)/2 = 12√2 + 4AD

S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)] = √[(12√2 + 4AD)(12√2 - 4AD)(8AD)(8AD + 16√2)] = 64√6

Після спрощення цього виразу ми отримуємо квадратне рівняння:

256AD^4 - 1536AD^2 - 6912 = 0

Розв'язавши його, ми отримуємо два корені:

AD = ±3√6

Оскільки AD > 0, то ми приймаємо AD = 3√6.

Тепер можна знайти довжину бісектриси СД за формулою:

CD = (2AB * AC)/(AB + AC) = (2 * 16√2 * 8)/(16√2 + 8√3) = 32/(2√6 + √2)

Множимо знаменник і чисельник на різницю знаменників, щоб спростити вираз:

CD = 32(2√6 - √2)/(6 - 2) = 8(2√6 - √2)

Отже, довжина бісектриси СД дорівнює 8(2√6 - √2).