Question

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания AB=2корня из 3, а боковое ребро AA1=4. Найдите угол между прямой AB1 и плоскостью BCA1.

Answer 1

Смотрите, как это просто. Прямая АВ1 пересекает плоскость ВСА1 в центре боковой грани АА1В1В - то есть просто в точке пересечения диагоналей боковой грани - самой АВ1 и А1В, которая лежит в плоскости ВСА1.

Пусть это точка Е, найти длину АЕ проще простого (все вычисления - потом).

Поэтому всё, что нам надо, это придумать, как опустить перпендикуляр из точки А на плоскость ВСА1, и найти его длину (то есть расстояние от точки А до этой плоскости).

Сразу понятно, что этот перпендикуляр должен "идти посередине" граней - из за симметрии правильной призмы.

Строго это формулируется так - проведем сечение призмы через боковое ребро АА1 и АК, где К - середина ВС. Ясно, что ВС   перпендикулярно АК - в основании лежит правильный треугольник. Отсюда следует, что плоскости АА1К и А1ВС перпендикулярны - дело в том, что если в одной плоскости есть ХОТЯ БЫ одна прямая, перпендикулярная другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны друг другу (это - самый важный момент в решении задач такого типа). Ну, а отсюда следует, что нужный нам перпендикуляр лежит в плоскости АА1К.

Построенное сечение - прямоугольник, и прямая А1К принадлежит как сечению, так и плоскости ВСА1. Если теперь в треугольнике АА1К из точки А провести перпендикуляр к А1К, то он будет перпендикулярен всей плоскости ВСА1, поскольку, кроме А1К, он перпендикулярен еще и ВС.

АК = 3 (боковая сторона треугольника 2√3, высота 2√3*√3/2 = 3), то есть треугольник АА1К - "Египетский" 3,4,5. Это очень упрощает вычисления - высота АН к гипотенузе А1К равна 3*4/5 = 2,4. Это и есть расстояние от А до плоскости ВСА1. АН = 2,4.

А длина наклонной АЕ равна половине диагонали боковой грани - прямоугольника со сторонами 4 и 2√3. Легко вычислить, что это √7 (ну посчитайте :) по теореме Пифагора).

Синус искомого угла АЕН равен 2,4/√7 = 12/(5√7).

Я конечно мог что-то не так сосчитать - проверьте :)

Answer 2

Найдем координаты вершин призмы: пусть вершина A имеет координаты (0,0,0), сторона основания AB лежит на оси X и имеет длину 2√3, а боковое ребро AA1 лежит на оси Z и имеет длину 4. Тогда координаты вершин призмы будут:

A = (0,0,0) B = (2√3,0,0) C = (0,2√3,0) A1 = (0,0,4) B1 = (2√3,0,4) C1 = (0,2√3,4)

Построим векторы BC и A1B1:

BC = C - B = (-2√3,2√3,0) A1B1 = B1 - A1 = (2√3,0,0)

Угол между векторами BC и A1B1 можно найти по формуле:

cos(угол) = (BC * A1B1) / (|BC| * |A1B1|)

где "*" обозначает скалярное произведение векторов, а "|" обозначает длину вектора.

Вычислим числитель:

BC * A1B1 = (-2√3,2√3,0) * (2√3,0,0) = -8√3

Вычислим знаменатель:

|BC| = √((-2√3)^2 + (2√3)^2 + 0^2) = 2√12 = 4√3 |A1B1| = √((2√3)^2 + 0^2 + 0^2) = 2√3

Подставим числитель и знаменатель в формулу для cos(угла):

cos(угол) = -8√3 / (4√3 * 2√3) = -1/2

Так как мы ищем угол между прямой AB1 и плоскостью BCA1, то угол, который мы нашли, является дополнительным к искомому углу. Искомый угол между прямой AB1 и плоскостью BCA1 равен:

угол = 180° - arccos(-1/2) = 120°

Ответ: угол между прямой AB1 и плоскостью BCA1 равен 120 градусов.