Question

В доме два подъезда с одинаковым количеством квартир, не большим 150. Управляющая компания заказала новые квартирные номера из отдельных цифр. Двузначные номера стоят вдвое дороже однозначных, а трёхзначные - втрое. Оказалось, что со второго подъезда собрали сумму денег на 40% большую, чем со второго. Сколько квартир в подъезде?

Answer 1

Ответ:

72 или 126

Пошаговое объяснение:

Пусть всего квартир 2n.

Будем считать, что все номера трехзначные, просто незначащие нули ничего не стоят.

• За последние цифры жители обоих подъездов заплатили одинаково – по n стоимостей цифры (примем её за 1)
• За вторые цифры справа платили жители с номерами, большими 9. Если n < 5, за эти цифры не платил никто; если 5 ≤ n < 10, то за эти цифры заплатили 2n - 9 жителей второго подъезда; если n ≥ 10 – платили n - 9 жителей первого подъезда и n жителей второго подъезда
• За третьи цифры справа платили жители с номерами, большими 99. Если n < 50, за эти цифры не платил никто; если 50 ≤ n < 100, то за эти цифры заплатили 2n - 99 жителей второго подъезда; если n ≥ 100 – платили n - 99 жителей первого подъезда и n жителей второго подъезда

Итак, есть следующие варианты:

1. n < 5: жители заплатили по n
2. 5 ≤ n < 10: жители первого подъезда заплатили n, жители второго – n + (2n - 9) = 3n - 9
3. 10 ≤ n < 50: жители первого подъезда заплатили n + (n - 9) = 2n - 9, жители второго – 2n
4. 50 ≤ n < 100: жители первого подъезда заплатили n + (n - 9) = 2n - 9, жители второго – 2n + (2n - 99) = 4n - 99
5. 100 ≤ n ≤ 150: жители первого подъезда заплатили n + (n - 9) + (n - 99) = 3n - 108, жители второго – 3n

Проверяем, могли ли суммы отличаться на 40%:

1. нет
2. 1,4 n = 3n - 9 – нет целых решений
3. 1,4 (2n - 9) = 2n – нет целых решений
4. 1,4 (2n - 9) = 4n - 99 – подходит, n = 72
5. 1,4 (3n - 108) = 3n – подходит, n = 126

Answer 2

Пусть в каждом подъезде есть N квартир.

Поскольку двузначные номера стоят вдвое дороже однозначных, а трёхзначные - втрое, можно составить следующую систему уравнений для суммы денег, собранных с каждого подъезда:

Сумма денег с первого подъезда = (N - 9) * 1 + (N - 99) * 2 + (100 + 101 + ... + (N - 10)) * 3 Сумма денег со второго подъезда = (N - 9) * 2 + (N - 99) * 2 + (100 + 101 + ... + (N - 10)) * 3

По условию задачи, сумма денег со второго подъезда на 40% больше, чем сумма денег с первого подъезда:

(Sумма денег со второго подъезда) = (Сумма денег с первого подъезда) + 0.4 * (Сумма денег с первого подъезда)

Заменяя значения суммы денег в уравнениях, получим:

(Н - 9) * 2 + (Н - 99) * 2 + (100 + 101 + ... + (N - 10)) * 3 = (N - 9) * 1 + (N - 99) * 2 + (100 + 101 + ... + (N - 10)) * 3 + 0.4 * ((N - 9) * 1 + (N - 99) * 2 + (100 + 101 + ... + (N - 10)) * 3)

Сокращая одинаковые слагаемые, получим:

(Н - 9) * 2 + (Н - 99) * 2 = (N - 9) * 1 + (N - 99) * 2 + (100 + 101 + ... + (N - 10)) * 3 + 0.4 * ((N - 9) * 1 + (N - 99) * 2 + (100 + 101 + ... + (N - 10)) * 3)

Раскрывая скобки и упрощая выражение:

2N - 18 + 2N - 198 = N - 9 + 2N - 198 + (100 + 101 + ... + (N - 10)) * 3 + 0.4 * (N - 9 + 2N - 198 + (100 + 101 + ... + (N - 10)) * 3)

4N - 216 = 4N - 207 + (100 + 101 + ... + (N - 10)) * 3 + 0.4 * (3N - 207 + (100 + 101 + ... + (N - 10)) * 3)

Упрощая еще больше, получим:

-9 = (100 + 101 + ... + (N - 10)) * 3 + 0.4 * (3N - 207 + (