Question

Несколько последовательных натуральных чисел выписали в строку в таком порядке, что сумма каждых трёх подряд идущих чисел делится нацело на первое число этой тройки. Какое максимальное количество чисел могло быть выписано, если последнее число строки нечётно? даю 60 баллов

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Имеем три числа,подряд идущих, причем последнее число нечетно. Если первое число нечетное, то и третье число нечетное, а значит и сумма этих чисел делится на первое число. Возьмем числа  1,2,3. Сумма  1+2+3=6 , Шесть делится на 1 ( первое число). Возьмем дальше 2+3+4=9 , 9 на 2 не делится . Дальше 3+4+5=12, 12 делится на 3. 4+5+6=15 , 15 на 4 не делится . Дальше  5+6+7=18, 18 на 5 не делится .  далее 7+8+9=24, а 24 на 7 не делится. Значит последовательность будет из 3 чисел. : 1,2,3 или 3,4,5.

Answer 2

Ответ:

3

Пошаговое объяснение:

По условию сумма каждых трёх подряд идущих чисел делится нацело на первое число этой тройки. Пусть первым натуральным числом будет M. Тогда суммой трёх подряд идущих чисел будет

S= M + (M + 1) + (M + 2) = 3·M + 3.

Это число делится на на первое число этой тройки, то есть на M:

S : M = (3·M + 3) : M = 3 + 3/M.

Чтобы это число было целым число M должен быть делителем 3. А таких натуральных чисел всего два: 1 и 3.

Пусть M = 1. Получим последовательных натуральных чисел

1, 2, 3 и последнее число строки нечётно.

Пусть M = 3. Получим последовательных натуральных чисел

3, 4, 5 и последнее число строки нечётно.

Значит, в строке всего 3 числа.

Answer 3

Пусть $a_1, a_2, \dots, a_n$ — последовательность натуральных чисел, записанных в таком порядке, что сумма каждых трех подряд идущих чисел делится нацело на первое число этой тройки, и $a_n$ — нечетное число.

Рассмотрим последовательность $a_1, a_2, a_3$. Так как $a_1$ делит $a_1+a_2+a_3$, то $a_1$ делит $a_2+a_3$. Аналогично, $a_2$ делит $a_3+a_4$, $a_3$ делит $a_4+a_5$, и так далее. Поэтому $a_1$ делит $a_2+a_3$, $a_2$ делит $a_3+a_4$, $a_3$ делит $a_4+a_5$, и так далее.

Рассмотрим первые четыре числа $a_1, a_2, a_3, a_4$. Так как $a_1$ делит $a_2+a_3$, а $a_2$ делит $a_3+a_4$, то $a_1$ делит $a_3+a_4$. Аналогично, $a_2$ делит $a_4+a_5$, и $a_1$ делит $a_3+a_4+a_5$. Поэтому $a_1$ делит $a_4+a_5$, $a_2$ делит $a_3+a_4+a_5$, и $a_3$ делит $a_4+a_5$. Это означает, что первые пять чисел $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ удовлетворяют тем же свойствам, что и первые три числа $a_1, a_2, a_3$.

Пусть $b_1, b_2, \dots, b_m$ — последовательность, состоящая из первых трех чисел $a_1, a_2, a_3$, затем из следующих двух чисел $a_4, a_5$, затем из следующих трех чисел, и так далее, пока не дойдем до $a_n$. Таким образом, последовательность $b_1, b_2, \dots, b_m$ состоит из блоков по три числа, каждый блок удовлетворяет условию задачи, и $b_m=a_n$ нечетно.

Пусть $c_k$ — наименьшее число, на которое делится $b_k$. Тогда $c_1=a_1$, $c_2=a_2$, $c_3=a_3$, $c_4=a_4$, $c_5=a_5$, и $c_6$ делит $a_4+a_5$. Аналогично, $c_7$ делит $a_5+a_6$,