Question

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: ‐ каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; ‐ с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать одним платежом часть долга. Сколько рублей было взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года) и сумма платежей превосходит взятую в банке сумму на 77200 рублей?

Answer 1

Пусть в банке взят кредит на сумму Х рублей.
Каждый январь долг увеличивается на 20% 
100% + 20% = 120% = 1,2
Кредит погашается тремя равными долями  по Z рублей.
3Z = X + 77200  ------->   
                                          X = 3Z - 77200   (1)

Тогда долг  в рублях  в банке будет выглядеть так:
июль 2020    -     X
январь 2021 -    1,2X
июнь   2021 -     (1,2X) - Z
январь 2022 -    (1,2X-Z)*1,2 = 1,44X - 1,2Z
июнь   2022 -     (1,44X - 1,2Z) - Z = 1,44X - 2,2Z
январь 2023 -    (1,44X - 2,2Z)*1,2 = 1,728X - 2,64Z
июнь    2023 -    (1,728X - 2,64Z) - Z = 1,728X - 3,64Z

Так как в июне 2023 года кредит полностью погашен, то последнее выражение равно нулю        
1,728X - 3,64Z = 0     подставить вместо Х выражение  (1)
1,728*(3Z - 77200) - 3,64Z = 0
5,184Z - 3,64Z - 133401,6 = 0
1,544Z = 133401,6
Z = 86400
X = 3Z - 77200 = 3*86400 - 77200 = 182000

Ответ: в банке был взят кредит на сумму  182 000  рублей

Answer 2

Для решения задачи нам нужно определить начальную сумму кредита. Для этого мы можем использовать формулу аннуитетного платежа, которая выглядит следующим образом:

P = (r * A) / (1 - (1 + r)^(-n))

где: P - размер аннуитетного платежа r - месячная процентная ставка A - начальная сумма кредита n - общее количество периодов погашения (в нашем случае это 36 месяцев)

Для удобства расчетов мы будем использовать месячные процентные ставки и периоды. С учетом условий задачи мы можем сформулировать следующую систему уравнений:

A * 1.2^3 - x = P A * 1.2^2 - P = q A * 1.2 - P = q A - P = q

где: x - остаток долга после 3-х лет платежей q - размер ежемесячного платежа (с февраля по июнь)

Решим эту систему методом последовательных приближений.

1. Предположим, что начальная сумма кредита равна 1000 рублей. Тогда: q = (1000 * 0.2) / 5 = 40 рублей P = 1000 / ((1 - (1 + 0.2/12)^(-36)) / (0.2/12)) = 47 338.58 рублей x = P - 3 * q = 47 178.58 рублей

2. Предположим, что начальная сумма кредита равна 50 000 рублей. Тогда: q = (50 000 * 0.2) / 5 = 2000 рублей P = 50 000 / ((1 - (1 + 0.2/12)^(-36)) / (0.2/12)) = 236 692.88 рублей x = P - 3 * q = 230 692.88 рублей

3. Предположим, что начальная сумма кредита равна 230 000 рублей. Тогда: q = (230 000 * 0.2) / 5 = 9200 рублей P = 230 000 / ((1 - (1 + 0.2/12)^(-36)) / (0.2/12)) = 1 091 494.04 рублей x = P - 3 * q = 1 063 894.04 рублей

4. Предположим, что начальная сумма кредита равна 1 060 000 рублей. Тогда: q = (1 060 000 * 0.2) / 5 = 42 400 р