Question

Доказать,что сумма любых последовательных натуральных чисел делится на 7 без остатка.

Answer 1

Натуральные числа-это те числа, которые используются при счете предметов.
Допустим, что наши натуральные числа это 1 и 2 их сумма 3 и она НЕ делится на 7 без остатка!

Answer 2

Для доказательства данного утверждения можно воспользоваться методом математической индукции.

Шаг 1: Базовый шаг. Проверяем, что утверждение верно для начального случая, когда последовательность состоит из двух чисел 1 и 2:

1 + 2 = 3, и 3 делится на 7 без остатка.

Шаг 2: Предположение индукции. Предположим, что утверждение верно для некоторого k, то есть сумма первых k натуральных чисел делится на 7 без остатка.

Шаг 3: Индукционный шаг. Докажем, что утверждение верно для k + 1, то есть сумма первых (k + 1) натуральных чисел также делится на 7 без остатка.

Рассмотрим сумму первых (k + 1) натуральных чисел:

1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = (1 + 2 + 3 + ... + k) + (k + 1)

По предположению индукции, сумма первых k натуральных чисел делится на 7 без остатка, то есть (1 + 2 + 3 + ... + k) = (k(k + 1))/2 делится на 7 без остатка. Поэтому, можно записать:

(1 + 2 + 3 + ... + k) + (k + 1) = (k(k + 1))/2 + (k + 1) = (k + 1)(k/2 + 1)

Заметим, что одно из чисел k и (k + 1) является четным, поэтому выражение (k/2 + 1) является целым числом. Таким образом, мы получаем:

(k + 1)(k/2 + 1) = (k + 1)(k + 2)/2

Так как одно из чисел k + 1 и k + 2 является четным, то выражение (k + 1)(k + 2) делится на 4 без остатка. Значит, (k + 1)(k + 2)/2 делится на 2 без остатка.

Так как (k + 1)(k + 2)/2 делится на 2 и на 7 без остатка, то оно также делится на их произведение 2 * 7 = 14 без остатка. Следовательно, сумма первых (k + 1) натуральных чисел делится на 7 без остатка.

Шаг 4: Заключение. Из базового шага и индукционного шага следует, что утверждение верно для всех натуральных чисел. Таким образом, сум