Question

8^x - 3*4^x+ (9*4^x - 288)/2^x -9 ≤ 32найти все корни

Answer 1

2^3x-3*2^2x +(9*2^2x-288)/(2^x-9) -32≤0
2^x=a
a³-3a²+(9a²-288)/(a-9)-32≤0
(a^4-9a³-3a³+27a²+9a²-288-32a+288)/(a-9)≤0
(a^4-12a³+36a²-32a)/(a-9)≤0
a(a³-12a²+36a-32)/(a-9)≤0
a[a²(a-2)-10a(a-2)+16(a-2))/(a-9≤0
a(a-2)(a²-10a+16)/(a-9)≤0
a(a-2)[a(a-2)-8(a-2)]/(a-9)≤0
a(a-2)(a-2)(a-8)/(a-9)≤0
a(a-2)²(a-8)/(a-9)≤0
       _           +                +                _              +
----------[0]--------[2]------------[8]--------------(9)-------------
a≤0⇒2^x≤0 нет решения
a=2⇒2^x=2⇒x=1
8≤a<9⇒8<2^x<9⇒3≤x<log(2)9
Ответ x∈[3;log(2)9 U {1}

Answer 2

Для решения данного неравенства, предлагаю преобразовать его и использовать численные методы для нахождения корней. Давайте перепишем неравенство:

8^x - 34^x + (94^x - 288)/2^x - 9 ≤ 32

Сначала заметим, что 8^x = (2^3)^x = 2^(3x) и 4^x = (2^2)^x = 2^(2x). Применим это преобразование:

2^(3x) - 32^(2x) + (92^(2x) - 288)/2^x - 9 ≤ 32

Теперь можно упростить выражение. Общий знаменатель дроби (2^x) приведем к общему знаменателю с остальными слагаемыми:

2^(3x) - 32^(2x) + (92^(2x) - 288)/(2^x) - 9*(2^x)/(2^x) ≤ 32*(2^x)

2^(3x) - 32^(2x) + (92^(2x) - 288 + 9*(2^x))/(2^x) ≤ 32*(2^x)

Теперь можно заменить 2^x на другую переменную, скажем y = 2^x:

2^(3x) - 32^(2x) + (92^(2x) - 288 + 9y)/y ≤ 32y

Таким образом, неравенство принимает вид:

y^3 - 3y^2 + (9y - 288 + 9y)/y - 32y ≤ 0

y^3 - 3y^2 + (18y - 288)/y - 32*y ≤ 0

y^3 - 3*y^2 + (18 - 288/y - 32)*y ≤ 0

y^3 - 3*y^2 + (18y - 320 - 288/y) ≤ 0

Теперь мы получили кубическое уравнение. Для его решения можно воспользоваться численными методами или графическим способом.

Заметим, что y = 0 не является корнем, так как это привело бы к делению на ноль в исходном неравенстве. Можно также учесть, что y > 0, так как y = 2^x и 2^x всегда положительно.

Чтобы найти все корни данного уравнения, рекомендуется использовать численные методы, такие как метод Ньютона или метод половинного деления. Эти методы позволяют найти приближенное значение корней с любой желаемой точностью.

Если у вас есть конкретные значения для чисел, которые входят в