Question

Доказать сходимость ряда и найти его сумму от бесконечности до n=1 1/n^2+5n+4

Answer 1

Ответ: 13/36

Пошаговое объяснение:

$an = \frac{1}{n^{2}+5n+4} = O(\frac{1}{n^{2} })$

А так как данный ряд сходится, то сходится и исходный по признаку сравнения.

Чтобы найти сумму ряда, нужно разложить дробь на простейшие.

an = $\frac{1}{3}(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+4})$

Sn = $\frac{1}{3}(\frac{1}{2} - \frac{1}{5} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} + \frac{1}{4} - \frac{1}{7} +... + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+4} ) = \frac{1}{3}(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}) = \frac{13}{36}$, n ⇒ ∞

Answer 2

Для доказательства сходимости ряда и нахождения его суммы, мы можем воспользоваться тестом на сходимость и формулой суммы геометрической прогрессии.

Рассмотрим ряд ∑(n=1 до бесконечности) 1/(n^2 + 5n + 4).

1. Для начала, рассмотрим знаменатель n^2 + 5n + 4. Мы можем попробовать разложить его на множители: n^2 + 5n + 4 = (n + 1)(n + 4).

   Проверим, есть ли корни у уравнения n^2 + 5n + 4 = 0:

   (n + 1)(n + 4) = 0

   Из этого следует, что n = -1 или n = -4. Однако, в задаче у нас указано, что ряд начинается от n = 1, поэтому эти значения нам не подходят.

   Таким образом, знаменатель n^2 + 5n + 4 всегда положителен для всех натуральных n.

2. Далее, мы можем оценить каждый член ряда сверху, чтобы использовать сравнительный признак сходимости. Для этого найдем максимальное значение для каждого члена ряда.

   Заметим, что для всех натуральных n выполняется неравенство: n^2 < n^2 + 5n + 4.

   Тогда, мы можем записать следующее:

   1/(n^2 + 5n + 4) < 1/n^2.

   Рассмотрим ряд ∑(n=1 до бесконечности) 1/n^2. Данный ряд является п-рядом с п = 2, и мы знаем, что п-ряд сходится.

   Таким образом, мы показали, что каждый член исходного ряда ограничен сверху сходящимся рядом 1/n^2.

3. Мы доказали, что ряд ∑(n=1 до бесконечности) 1/n^2+5n+4 является рядом сравнения сходящегося ряда ∑(n=1 до бесконечности) 1/n^2.

   Следовательно, исходный ряд сходится.

4. Теперь найдем сумму ряда. Заметим, что данный ряд можно представить как разность двух рядов: ∑(n=1 до бесконечности) 1/(n+1)(n+4) - ∑(n=1 до бесконечности) 1/n(n+4).

   Разложим каждый ряд на простейши