Question

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе. a (1; -1;- 1) b (2; 1; 1) с (3; -3; -2) d (8;-2 ;-1 )

Answer 1

Ответ:

рассмотрим матрицу и вычислим ее определитель

10     3     1

3       4      2   =10|4   2| -3  |3    2|   +1  |3   4|=-100-3*0+1*15=115≠0→ базис

3       9      2         |9   2|      |3    2 |        |3   9|

разложим по векторам базиса вектор d(19;30;7)

d=xa+yb+zc

10x+3y+z=19

 3x+4y+2z=30

 3x+9y+2z=7

9y-4y=7-30  5y=-23   y=-23/5=-4.6

10x+z=19+4.6=23.6  10x=23.6-z   x=2.36-0.1z

3(2.36-0.1z)-9*4.6+2z=7   7.08-0.3z-41.4+2z=7

1.7z=41.38  z=(41 38/100)/(1 7/10)=2069/85    x=2 36/100-2069/850=-63/850

d=-63/850a-23/5b+2069/85c

проверьте расчеты

Answer 2

Чтобы доказать, что векторы a, b, c образуют базис, необходимо проверить два условия:

1. Векторы a, b, c линейно независимы.
2. Векторы a, b, c порождают всё пространство, в котором они находятся.

Давайте проверим эти условия для векторов a (1; -1; -1), b (2; 1; 1), и c (3; -3; -2):

1. Линейная независимость: Для проверки линейной независимости векторов a, b, c, составим уравнение: x * a + y * b + z * c = 0, где x, y, z - некоторые числа.

Теперь решим это уравнение: x * (1; -1; -1) + y * (2; 1; 1) + z * (3; -3; -2) = (0; 0; 0).

Распишем каждое слагаемое: (x; -x; -x) + (2y; y; y) + (3z; -3z; -2z) = (0; 0; 0).

Сложим соответствующие компоненты: x + 2y + 3z = 0, -x + y - 3z = 0, -x + y - 2z = 0.

Эту систему уравнений можно записать в виде матрицы и привести к ступенчатому виду:

1 2 3 | 0 -1 1 -3 | 0 -1 1 -2 | 0

Выполним несколько элементарных преобразований:

1 2 3 | 0 0 3 0 | 0 0 0 -1 | 0

Получили ступенчатый вид матрицы. В каждой строке есть ведущий элемент (первый ненулевой элемент), и он не нулевой в каждой строке. Это означает, что система уравнений имеет только тривиальное решение x = y = z = 0. Таким образом, векторы a, b, c линейно независимы.

2. Векторы a, b, c порождают пространство: Чтобы доказать, что векторы a, b, c порождают пространство, нужно показать, что любой вектор в этом пространстве может быть выражен через линейную комбинацию векторов a, b, c.

Рассмотрим вектор d (8; -2; -1). Найдем такие числа x, y, z, что x * a + y * b + z * c = d:

x * (1; -1; -1