Question

Треугольники ABC и MNK подобны. стороны треугольника MNK в 3 раза меньше сторон треугольника ABC. площадь треугольника ABC равна 18. найдите площадь треугольника BNK

Answer 1

Соотношение площадей равно квадрату коэф.подобия
коэф.подобия = 3
Sabc/Smnk=3^2=9
18/Smnk=9
Smnk=18/9=2
Ответ: 2

Answer 2

Если треугольники ABC и MNK подобны, то их соответствующие стороны пропорциональны, то есть:

AB/MN = BC/NK = AC/MK

Также известно, что стороны треугольника MNK в 3 раза меньше сторон треугольника ABC, то есть:

MN = AB/3, NK = BC/3, MK = AC/3

Площадь треугольника вычисляется по формуле:

S = 1/2 * a * b * sin(C)

где a и b - длины сторон треугольника, C - угол между этими сторонами.

Поскольку треугольники ABC и MNK подобны, то соответствующие углы равны, то есть угол BNM равен углу BAC, угол BMN равен углу BCA и угол NKM равен углу CAM.

Таким образом, можно выразить сторону BN через стороны треугольника ABC:

BN = AB - AN = AB - (AC * sin(BAC)) / sin(ACB) = AB - (AB * sin(ACB - BAC)) / sin(ACB)

Аналогично, можно выразить стороны BK и NK через стороны треугольника ABC.

Теперь можно вычислить площадь треугольника BNK по формуле выше, используя найденные стороны:

S_BNK = 1/2 * BN * NK * sin(BNM)

где угол BNM равен углу BAC, которому соответствует тот же синус, что и углу BNM.

Подставляя найденные значения, получим:

S_BNK = 1/2 * (AB - AB * sin(ACB - BAC) / sin(ACB)) * (BC/3) * sin(BAC)

S_BNK = 1/6 * AB * BC * sin(BAC) * (1 - sin(ACB - BAC) / sin(ACB))

Используя формулу для площади треугольника ABC, можно выразить AB * BC * sin(BAC) через S_ABC:

AB * BC * sin(BAC) = 2 * S_ABC

Подставляя это значение, получим:

S_BNK = 1/3 * S_ABC * (1 - sin(ACB - BAC) / sin(ACB))

Поскольку площадь треугольника ABC равна 18, то:

S_ABC = 18

Таким образом, площадь треугольника BNK равна:

S_BNK = 1/3 * 18 * (1 - sin(ACB - BAC) / sin(ACB))

Осталось только вычислить значение sin(ACB - BAC) / sin(ACB). Для этого можно воспользоваться формулой для синус