Question

Найдите наименьшее значение функции y=x^4-2x^3-3

Answer 1

Дана функция y = x^4 - 2x^3 - 3.

Её производная равна y' = 4x^3 - 6x^2.

Приравняем производную нулю: 4x^3 - 6x^2 = 0.

2x^2 (2х - 3) = 0.

Отсюда имеем 2 критические точки: х = 0 и х = 3/2 и 3 промежутка знакопостоянства функции..

Находим знаки производной на полученных промежутках.

х =      -1      0      1       3/2       2

y' =    -10     0      -2       0         8.

Как видим, минимум только в точке х = 3/2 (переход от - к +). Значение функции в этой точке равно:

у = (3/2)^4 - 2*(3/2)^3 - 3 = 5,0625 -  6,75 - 3 = -4,6875 .

Answer 2

Чтобы найти наименьшее значение функции y = x^4 - 2x^3 - 3, необходимо найти точку экстремума функции, то есть точку, в которой производная функции равна нулю или не существует. Затем нужно проверить, является ли найденная точка экстремума минимумом или максимумом функции.

Производная функции y по x равна: y' = 4x^3 - 6x^2

Чтобы найти точки экстремума, мы приравниваем производную к нулю и решаем уравнение: 4x^3 - 6x^2 = 0 2x^2(2x - 3) = 0 x = 0 или x = 3/2

Далее нужно проверить, являются ли эти точки минимумом или максимумом функции. Для этого можно использовать вторую производную функции: y'' = 12x^2 - 12x

При x = 0: y'' = 0 - 0 = 0

При x = 3/2: y'' = 27 - 18 = 9

Точка x = 3/2 является точкой минимума функции, так как в этой точке производная меняет знак с отрицательного на положительный.

Теперь можем найти минимальное значение функции. Подставляем x = 3/2 в исходную функцию: y = (3/2)^4 - 2(3/2)^3 - 3 = 81/16 - 27/4 - 3 = -67/16

Ответ: наименьшее значение функции y = x^4 - 2x^3 - 3 равно -67/16, и оно достигается при x = 3/2.