Question

Окружность вписанная в равнобедренный тр-к делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка которые равны 8 и 5 см. Найти периметр тр-ка

Answer 1

1) 8+5=13(см) - длина одной стороны
2) 13*3=39(см) - периметр треугольника

Answer 2

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, в который вписана окружность с центром в точке O. Пусть точка касания окружности с боковой стороной AB делит ее на два отрезка AD и DB, причем AD = 8 см и DB = 5 см. Пусть точка касания окружности с боковой стороной AC делит ее на два отрезка AE и EC, причем AE = EC (так как треугольник ABC равнобедренный).

Заметим, что отрезки AD и DB являются радиусами окружности, поэтому они равны между собой и равны расстоянию от центра окружности O до стороны AB:

AD = DB = OA.

Аналогично, отрезки AE и EC являются радиусами окружности, поэтому они равны между собой и равны расстоянию от центра окружности O до стороны AC:

AE = EC = OC.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то стороны AB и AC равны между собой:

AB = AC.

Тогда можно записать систему уравнений:

AD + DB = AB = AC OA + OB = AB AE + EC = AC OA = OC

Из первого уравнения следует, что AD + DB + AC = 2AC, то есть AD + DB = AC.

Из второго и четвертого уравнений следует, что OA = OC.

Из третьего уравнения следует, что AE + EC = 2AE, то есть EC = AE = AC/2.

Таким образом, мы получили, что:

AD + DB = AC OA = OC EC = AE = AC/2

Теперь можем выразить сторону AB через AD и DB:

AB = AD + DB = 8 + 5 = 13.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то его основание AB равно 13, а высота опущенная на это основание проходит через центр окружности O.

Так как центр окружности O лежит на высоте, то он делит ее на две части, каждая из которых равна радиусу окружности. Поэтому высота равна:

h = OA + OC = 2OA.

Так как OA = OC, то h = 2OA = 2OC.

Теперь можем выразить сторону AC через EC:

AC = 2EC = 2AE = 2 \cdot \frac{AC}{2} = AC.

Таким образом, мы получили, что стороны треугольника ABC равны 13, AC и AC.

Периметр тре