Question

Упростите (tgxплюсctgx^2)-(tgx-ctgx)^2

Answer 1

$(tg x +ctg^2 x)-(tg x-ctg x)^2=tg x+ctg^2 x - tg^2 x+2tg x*ctg x-\\-ctg^2 x=tg x-tg^2 x+2$

Answer 2

Давайте посчитаем каждое слагаемое отдельно и затем вычтем их:

1. tg(x) + ctg(x^2) = (sin(x)/cos(x)) + (cos(x^2)/sin(x^2))
2. tg(x) - ctg(x) = (sin(x)/cos(x)) - (cos(x)/sin(x))

Теперь вычислим квадрат второго выражения:

(tg(x) - ctg(x))^2 = (sin(x)/cos(x) - cos(x)/sin(x))^2 = (sin^2(x)/cos^2(x) - 2sin(x)cos(x)/(cos(x)sin(x)) + cos^2(x)/sin^2(x))

Объединим первые два слагаемых:

tg(x) + ctg(x^2) - (tg(x) - ctg(x))^2 = sin(x)/cos(x) + cos(x^2)/sin(x^2) - (sin^2(x)/cos^2(x) - 2sin(x)cos(x)/(cos(x)sin(x)) + cos^2(x)/sin^2(x))

Раскроем скобки в квадрате:

tg(x) + ctg(x^2) - (tg(x) - ctg(x))^2 = sin(x)/cos(x) + cos(x^2)/sin(x^2) - (sin^2(x)/cos^2(x) - 2 + cos^2(x)/sin^2(x))

Упростим:

tg(x) + ctg(x^2) - (tg(x) - ctg(x))^2 = 2 + cos(x^2)/sin(x^2) + sin(x^2)/cos(x^2)

Таким образом, ответ: 2 + cos(x^2)/sin(x^2) + sin(x^2)/cos(x^2)