Question

Прямая, параллельная биссектрисе внешнего угла при вершине M треугольника KLM пересекает сторону KM в точке P и проходит через середину стороны KL. Найдите KP, если KM=8KM=8, LM=5.

Answer 1

Sn = 2• ( 8•8+8•5+8•5) = 64+40+40 = 144• 2 = 288см

Answer 2

Для начала нарисуем треугольник KLM и обозначим все известные нам величины:

Так как прямая, параллельная биссектрисе внешнего угла при вершине M, пересекает сторону KM в точке P и проходит через середину стороны KL, то мы можем нарисовать такую картинку:

Здесь точка N - середина стороны KL, а прямая r - параллельна биссектрисе внешнего угла при вершине M и проходит через точки N и P.

Так как прямая r параллельна биссектрисе внешнего угла при вершине M, то угол KLP равен углу KLM. Также угол KLP равен углу LPN (как вертикальный угол), а угол LPN равен углу KLN (как угол между параллельными прямыми), который, в свою очередь, равен углу KLM (так как LM - биссектриса угла K).

Таким образом, получаем, что углы KLM, KLP и LPN равны между собой. Поэтому треугольник KLP - равнобедренный, и KP=LP.

Теперь обратимся к треугольнику KLM. Мы знаем, что KM=8, LM=5, а угол KLM равен удвоенному углу KLP (из соображений, полученных выше). Значит, мы можем найти длину KL, применив теорему косинусов:

cos(KLM) = (KM^2 + LM^2 - KL^2) / (2 * KM * LM) cos(KLP) = cos(KLM) / 2 KL = sqrt(KM^2 + LM^2 - 2 * KM * LM * cos(KLP))

Подставляем известные значения и находим KL:

cos(KLM) = (8^2 + 5^2 - KL^2) / (2 * 8 * 5) = 89 / 80 cos(KLP) = cos(KLM) / 2 = 89 / 160 KL = sqrt(8^2 + 5^2 - 2 * 8 * 5 * 89 / 160) ≈ 6.3

Теперь мы можем найти длину LP (а так