Question

Докажите, что при всех значениях (a)-(альфа) уравнение x^2-(2cos(a)-3)x+cos^2(a)-4cos(a)+7=0 не имеет действительных корней.

Answer 1

Дополним до полного квадрата:

(х-(cos(a)-1,5))^2=4cos(a)-7+cos^2(a)-3cos(a)+2,25

(х-(cos(a)-1,5))^2=cos(a)+cos^2(a))-4,75

Очевидно, выражение справа всегда отрицательно, что и доказывает утверждение.

Answer 2

Для доказательства того, что уравнение $x^2 - (2\cos(a) - 3)x + \cos^2(a) - 4\cos(a) + 7 = 0$ не имеет действительных корней, мы можем исследовать его дискриминант.

Дискриминант $D$ квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. Если $D < 0$, то уравнение не имеет действительных корней.

В данном случае, у нас есть уравнение $x^2 - (2\cos(a) - 3)x + \cos^2(a) - 4\cos(a) + 7 = 0$. Сравнивая его с общей формой $ax^2 + bx + c = 0$, мы получаем:

$a = 1$, $b = -(2\cos(a) - 3)$, $c = \cos^2(a) - 4\cos(a) + 7$.

Теперь вычислим дискриминант $D$ для данного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = [-(2\cos(a) - 3)]^2 - 4(1)(\cos^2(a) - 4\cos(a) + 7)$.

Упрощая это выражение, получим:

$D = 4\cos^2(a) - 12\cos(a) + 9 - 4\cos^2(a) + 16\cos(a) - 28$.

Сокращаем подобные слагаемые:

$D = 4\cos(a) - 19$.

Теперь нам нужно показать, что $D < 0$ для всех значений $a$.

Обратите внимание, что $4\cos(a)$ - это линейная функция, которая может принимать любые значения в диапазоне $(-4, 4)$. Таким образом, самое маленькое значение, которое может принимать $4\cos(a)$, равно $-4$, а самое большое значение равно $4$.

Подставляя эти значения в $D$, мы получаем:

Для $4\cos(a) = -4$: $D = (-4) - 19 = -23 < 0$.

Для $4\cos(a) = 4$: $D = (4) - 19 = -15 < 0$.

Таким образом, мы видим, что для любого значения $4\cos(a)$ дискриминант $D$ отрицателен ($D < 0$).

Следовательно, уравнение $x^2 - (2\cos(a) - 3)x + \cos^2(a) - 4\cos(a) + 7 = 0$ не имеет действительных корней для всех значений $a$.