Question

в трапеции АВСД с основаниями ВС и АД, О - точка пересечения диагоналей. АО:ОС=5:2. Найдите большее основание трапеции, если её средняя линия равна 7 см.

Answer 1

В трапеции АВСD диагонали делят ее на треугольники, из которых треугольники ВОС и АОD - подобны , так как <OAD=<OBC, <ODA=<OBC (как внутренние накрест лежащие при параллельных ВС и АD), а <BOC=<AOD (как вертикальные).
Из подобия имеем: АО/ОС=AD/ВС=5/2. Значит ВС=(2/5)*AD.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть ВС+AD=14. И ВС=14-AD. тогда (14-AD) = (2/5)*AD, откуда
AD=10см.
Ответ: большее основание трапеции равно 10см.

Answer 2

Пусть $AB$ и $CD$ являются основаниями трапеции $ABCD$, причём $AB>CD$, и $M$ --- середина отрезка $AB$. Тогда $OM$ является средней линией трапеции, причём $OM = \frac{AB+CD}{2}$.

Пусть $x$ обозначает длину отрезка $AD$, а $y$ --- длину отрезка $BC$. Так как $ABCD$ --- трапеция, то $AD \parallel BC$, откуда $\triangle AOB \sim \triangle COD$. Кроме того, по условию задачи $AO:OC=5:2$. Значит,

$\frac{AB}{CD} = \frac{AO+OB}{CO+OD} = \frac{AO}{CO} = \frac{5}{2}.$

Из подобия треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle COD$ следует, что $\frac{OB}{OD}=\frac{AB}{CD}=\frac{5}{2}$.

Также из подобия треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle COD$ следует, что

$\frac{AM}{MC} = \frac{AB}{CD} = \frac{5}{2}.$

Так как $OM=MC$, то $AM=4MC$. Также из подобия треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle COD$ следует, что

$\frac{AB}{CD} = \frac{OB+OA}{OD+OC} = \frac{OB}{OD} \cdot \frac{OA}{OC} = \frac{5}{2} \cdot \frac{OA}{OC}.$

Значит, $\frac{OA}{OC}=\frac{2AB}{5CD}=\frac{2(x+y)}{5y}=\frac{2}{5}+\frac{2x}{5y}$.

С другой стороны, $OM = \frac{AB+CD}{2} = \frac{x+y}{2}=7$. Отсюда $x+y=14$.

Из условия $OM = MC$ следует, что $MC = 7$. Тогда $AM=4MC=28$, а $AC = AM + MC = 35$.

Из подобия треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle COD$ следует, что $OB=\frac{5}{2}OD$. Из условия $\frac{OB}{OD}=\frac{5}{2}$ следует, что $OB=\frac{5}{7}(x+y)$. Тогда $AB=2OM-OB=2\cdot7-\frac{5}{7}(x+y)=14-\frac{5}{7}(x+y)=14-\frac{10}{7}y$.

Значит, большее основание трапеции равно $AB=14-\frac{10}{7}y$. Из уравнения $x+y=14$ следует, что $y=14-x$. Подставляя это в выражение для $AB$, получаем:

$$$$