Question

Найти точки экстремума и значения функции в них : y= x^2 /(x-1)

Answer 1

Производная данной функции:

$y'=\displaystyle \frac{(x^2)'(x-1)-x^2(x-1)'}{(x-1)^2}=\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2} =\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$

Приравниваем теперь к нулю

$\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}=0~~~\Rightarrow~~~ x^2-2x=0\\ x(x-2)=0\\ x_1=0\\ x_2=2$

___+___(0)___-___(1)___-___(2)__+_____

Производная функции в точке х=0 меняет знак с (+) на (-), следовательно, точка х=0 - локальный максимум. А в точке х=2 меняет знак с (-) на (+), значит х=2 - локальный минимум.

$y(0)=\dfrac{0^2}{0-1} =0\\ y(2)=\dfrac{2^2}{2-1} =4$

Answer 2

Для нахождения точек экстремума необходимо найти производную функции и приравнять её к нулю:

y = x^2 / (x-1)

y' = (2x(x-1) - x^2) / (x-1)^2

y' = (2x^2 - 2x - x^2) / (x-1)^2

y' = (-x^2 + 2x) / (x-1)^2

Приравняем производную к нулю и найдем корни уравнения:

-x^2 + 2x = 0

x(2 - x) = 0

x = 0 или x = 2

Теперь необходимо проверить знак производной на интервалах между найденными корнями и за пределами этих корней:

• Если y' > 0 на интервале, то функция возрастает на этом интервале.
• Если y' < 0 на интервале, то функция убывает на этом интервале.
• Если y' = 0 на интервале, то функция имеет экстремум на этом интервале.

Для удобства можно построить таблицу знаков производной:

x	0	1	2
y'	+	-	+

Из таблицы видно, что на интервале (-∞, 0) функция возрастает, на интервале (0, 1) функция убывает, на интервале (1, 2) функция возрастает, а на интервале (2, +∞) функция также возрастает.

Таким образом, мы получаем, что функция имеет минимум в точке x = 2, а максимума не имеет. Точки экстремума:

x = 2

Чтобы найти значение функции в точке экстремума, подставим её в исходную функцию:

y(2) = 2^2 / (2-1) = 4

Ответ: точка экстремума (2, 4). Функция имеет минимум в этой точке.