Question

Исследовать функции с помощью производных первого и второго порядков. Найти асимптоты. Построить графики функций. a)y=x^2*e^-x b) y=x-8/x^4

Answer 1

По производной можно найти лишь точки экстремумов. y'=-4(2x^2 + 1) / (x^2 -1)^2

но производная всюду отлична от нуля, а значит точек экстремумов нет

глядя на функцию можно заметить:

y(-x) = -y(x) - функция нечётная

y(0) = 0 - функция лишь в одной точке равна 0

функция имеет 2 вертикальные и 2 горизонтальные асимптоты:

предел функции при стремлении аргумента к бесконечности (и к минус бесконечности) равен 0

вертикальные асимптоты в точках x=1, x=-1. при приближении к x=1 слева функция стремиться к минус бесконечности, при приближении к x=1 справа функция стремиться к плюс бесконечности. аналогично, при приближении к x=-1 слева функция стремиться к минус бесконечности, при приближении к x=-1 справа функция стремиться к плюс бесконечности

Answer 2

a) Функция: y = x^2*e^-x

Найдем производную функции y по x:

y' = 2xe^-x - x^2e^-x

Найдем вторую производную функции y по x:

y'' = 2e^-x - 4xe^-x + x^2e^-x

Найдем точки экстремума функции y:

y' = 0 => 2xe^-x - x^2e^-x = 0 => x = 2

y''(2) = 2e^-2 - 8e^-2 + 4e^-2 = -2e^-2 < 0

Таким образом, точка x = 2 является точкой максимума функции.

Найдем точку перегиба функции y:

y'' = 0 => 2e^-x - 4xe^-x + x^2e^-x = 0 => x = 4

y'''(4) = -4e^-4 + 24e^-4 - 8e^-4 = 12e^-4 > 0

Таким образом, точка x = 4 является точкой перегиба функции.

Найдем асимптоты функции:

y/x = x*e^-x

При x -> +inf, x*e^-x -> 0, поэтому y = 0 - это горизонтальная асимптота.

Построим график функции:

b) Функция: y = x-8/x^4

Найдем производную функции y по x:

y' = 1 + 32/x^5

Найдем вторую производную функции y по x:

y'' = -160/x^6

Функция не имеет точек экстремума.

Найдем точку перегиба функции y:

y'' = 0 => x = 0

Построим график функции:

График функции имеет вертикальную асимптоту x = 0. Также заметим, что функция является унимодальной и имеет локальный минимум в точке x = 2.