Question

Составить уравнения касательной прямой и нормали к кривой xy^2+x^3-y+3=0 в точке M (0;3)

Answer 1

Посмотрите предложенное решение, по возможности перепроверьте в других источниках.

Answer 2

Для того чтобы составить уравнения касательной прямой и нормали к данной кривой в точке M (0;3), необходимо найти производные функции y по x.

Выполним дифференцирование обеих частей уравнения по x:

xy^2 + x^3 - y + 3 = 0

Получаем:

(2xy + 3x^2)dy/dx - dy/dx = 0

dy/dx(2xy + 3x^2 - 1) = 0

dy/dx = 1 / (2xy + 3x^2 - 1)

Теперь можем найти значение производной в точке M (0;3):

dy/dx = 1 / (203 + 3*0^2 - 1) = -1

Таким образом, уравнение касательной прямой к кривой в точке M (0;3) имеет вид:

y - 3 = -1(x - 0)

или

y = -x + 3

Уравнение нормали к кривой в точке M (0;3) получается путем нахождения уравнения прямой, проходящей через точку M и перпендикулярной касательной. Коэффициент наклона нормали равен обратному значению производной в точке M:

k = -1 / (-1) = 1

Таким образом, уравнение нормали к кривой в точке M (0;3) имеет вид:

y - 3 = 1(x - 0)

или

y = x + 3