Question

При каких значениях a неравенство x2−5x+a>0 справедливо при всех x?

Answer 1

18_03_09_Задание № 5:

При каких значениях a неравенство x^2−5x+a>0 справедливо при всех x?

РЕШЕНИЕ: Так как у=x^2−5x+a парабола ветвями вверх, то если она же не будет иметь общих точек с осью х, то условие будет выполнено

x^2−5x+a=0

D=(-5)^2-4*1*a=25-4a<0

4a>25

a>6.25

ОТВЕТ: a>6.25

Answer 2

y=x²-5x+a - это уравнение параболы

Поскольку коэффициент перед квадратным членом положителен, то ветви параболы направлены вверх.

Чтобы при любом значении x значение функции было положительным, парабола должна быть выше оси x.

Допоним выражение до полного квадрата

x²-5x+a=x²-5x+6,25-6,25+a=

=(x-2,5)²+(a-6,25)

x-2,5 означает, что парабола y=x² сдвинута вправо на 2,5

Чтобы парабола была выше оси x

a-6,25>0 или a>6,25

Answer 3

Для того чтобы неравенство $x^2 - 5x + a > 0$ было выполнено для всех значений $x$, дискриминант данного квадратного трехчлена должен быть отрицательным ($\Delta < 0$).

Дискриминант $\Delta$ квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ вычисляется по формуле: $\Delta = b^2 - 4ac$.

В данном случае, у нас $a = 1$, $b = -5$ и $c = a$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта и приравняем его к нулю:

$\Delta = (-5)^2 - 4(1)(a)$ $\Delta = 25 - 4a$

Так как нам требуется, чтобы $\Delta < 0$, мы должны решить неравенство:

$25 - 4a < 0$

Решим это неравенство:

$-4a < -25$ $a > \frac{25}{4}$

Итак, при значениях $a$ больше, чем $\frac{25}{4}$ неравенство $x^2 - 5x + a > 0$ будет выполняться для всех значений $x$.