Question

X^2-2 (a-1)x-2a+1=0 один корень положительный, другой отрицательный

Answer 1

Пусть в квадратном уравнении значение a (возле x^2) = 1, тогда b (возле x) = -2 * (a - 1), а c = -2a + 1. Согласно теореме Виетта:
x(1) * x(2) = c/a
x(1) + x(2) = -b/a
Если один из корней уравнения положительный, а другой - отрицательный, то значение c/a отрицательное, так как при умножении положительных чисел на отрицательные произведение также отрицательное (меньше, чем 0). Тогда:
c/a < 0
(-2a+1)/1 < 0
-2a + 1 < 0
-2a < 0 - 1
-2a < -1
a > -1 : (-2)
a > 0,5
Ответ: квадратное уравнение будет иметь положительный и отрицательный корни при a > 0,5

Answer 2

Данное квадратное уравнение имеет два корня, поскольку старший коэффициент не равен нулю. Если один корень является положительным, а другой отрицательным, то их произведение должно быть отрицательным, а сумма - равной отрицательному коэффициенту при x в уравнении.

Поэтому, чтобы найти значения a, необходимо решить систему уравнений:

1. x1 * x2 = -2a + 1 < 0, так как один корень положительный, а другой отрицательный
2. x1 + x2 = 2(a-1) > 0, так как сумма корней отрицательна

Мы можем использовать формулы Виета для решения этой системы:

x1 + x2 = 2(a-1) => a = (x1 + x2 + 2) / 2

x1 * x2 = -2a + 1 => x1 * x2 = -x1 - x2 + 1

Подставляя первое выражение во второе, мы получаем:

x1 * x2 = -(x1 + x2) + 1 x1 * x2 + x1 + x2 - 1 = 0

Теперь мы можем решить это уравнение, используя обычную технику решения квадратных уравнений. Например, мы можем использовать формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = 1, b = 1 и c = -1. Подставляя эти значения, мы получаем:

D = 1^2 - 41(-1) = 5

Так как дискриминант положительный, то у нас есть два различных корня:

x1 = (-b + sqrt(D)) / 2a = (1 + sqrt(5)) / 2 x2 = (-b - sqrt(D)) / 2a = (1 - sqrt(5)) / 2

Теперь, подставляя эти значения в первое выражение, мы можем найти значение a:

a = (x1 + x2 + 2) / 2 = ((1 + sqrt(5)) / 2 + (1 - sqrt(5)) / 2 + 2) / 2 = 3/2

Таким образом, ответом на задачу является a = 3/2.