Question

Найти производную функции y=(cosx)^sinx

Answer 1

$y=cosx^{sinx}$
$ln(y)=ln(cosx)^{sinx}$
$ln(y)=sinx * ln (cosx)$
$\frac{y'}{y} =cosx* ln (cosx)- \frac{sin^2x}{cosx}$
$\frac{y'}{y} =cosx* ln (cosx)- sinx*tgx$
$y' =y*(cosx* ln (cosx)- sinx*tgx)$
$y' =cosx^{sinx}*(cosx* ln (cosx)- sinx*tgx)$

Answer 2

Чтобы найти производную функции y=(cosx)^sinx, нам понадобится применить правило производной сложной функции (chain rule) и правило производной степенной функции.

Давайте начнем с выражения для производной функции y:

y' = d/dx[(cosx)^sinx]

Затем мы можем применить правило производной сложной функции, заметив, что (cosx)^sinx можно рассматривать как функцию sinx, возведенную в степень cosx:

y' = d/dx[sin(x)^(cos(x))]

Теперь мы можем применить правило производной степенной функции, получив:

y' = cos(x) * sin(x)^(cos(x) - 1) * (-sin(x)) + ln(sin(x)) * sin(x)^(cos(x)) * cos(x)

Мы можем упростить эту производную, приведя к общему знаменателю и факторизовав cos(x):

y' = cos(x) * [(-sin(x)) * sin(x)^(cos(x) - 1) + ln(sin(x)) * sin(x)^(cos(x))]

Это может быть упрощено еще больше, вынесением sin(x)^(cos(x) - 1) за скобки:

y' = cos(x) * sin(x)^(cos(x) - 1) * [-sin(x) + ln(sin(x)) * sin(x)]

И наконец, мы можем вынести sin(x) за скобки, чтобы получить:

y' = cos(x) * sin(x)^(cos(x) - 1) * sin(x) * [ln(sin(x)) - 1]

Таким образом, мы получаем окончательную производную функции y=(cosx)^sinx:

y' = cos(x) * sin(x)^(cos(x) - 1) * sin(x) * [ln(sin(x)) - 1]