Question

Докажите тождество(1+tga^2)cosa^2+sina^2(1+ctga^2)=2

Answer 1

$\cos^2\alpha(1+\mathrm{tg}^2\alpha)+\sin^2\alpha(1+\mathrm{ctg}^2\alpha)=2$

Упростим левую часть выражения

$\cos^2\alpha(1+\mathrm{tg}^2\alpha)+\sin^2\alpha(1+\mathrm{ctg}^2\alpha)=\medskip\\=\cos^2\alpha+\cos^2\alpha~\mathrm{tg}^2\alpha+\sin^2\alpha+\sin^2\alpha~\mathrm{ctg}^2\alpha=\medskip\\=(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)+\left(\dfrac{\cos^2\alpha\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\dfrac{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\right)=\medskip\\=1+(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=1+1=2$

$2=2$

Тождество доказано

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы можем воспользоваться преобразованиями тригонометрических функций.

Заметим, что выражение (1 + tg^2 a) может быть переписано следующим образом:

1 + tg^2 a = sec^2 a

Аналогично, выражение (1 + ctg^2 a) может быть переписано как:

1 + ctg^2 a = cosec^2 a

Теперь мы можем переписать исходное выражение следующим образом:

(1 + tg^2 a) cos^2 a + sin^2 a (1 + ctg^2 a) = sec^2 a cos^2 a + sin^2 a cosec^2 a

Теперь мы можем воспользоваться тождеством:

sec^2 a - tan^2 a = 1

И выразить sec^2 a и sin^2 a через tan^2 a:

sec^2 a = 1 + tan^2 a

sin^2 a = 1 - cos^2 a

Подставим эти выражения в предыдущее уравнение:

(1 + tg^2 a) cos^2 a + sin^2 a (1 + ctg^2 a) = (1 + tan^2 a) cos^2 a + (1 - cos^2 a) (1 + (1/tan^2 a))

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

1 + cos^2 a tg^2 a + sin^2 a ctg^2 a = cos^2 a + cos^4 a / tan^2 a + (1 - cos^2 a) / tan^2 a

Перенесем все слагаемые на левую сторону и приведем подобные:

1 - cos^2 a - cos^4 a tg^2 a - (1 - cos^2 a) / tan^2 a = 0

Мы знаем, что:

tg^2 a + 1 / tg^2 a = sec^2 a cosec^2 a = 1 / sin^2 a + 1 / cos^2 a

Подставим это выражение в предыдущее уравнение:

1 - cos^2 a - cos^4 a (1 + 1 / tg^2 a) - (1 - cos^2 a) tg^2 a / (1 + tg^2 a) = 0

Раскроем скобки и приведем подобные:

cos^4 a + cos^2 a - cos^4 a - cos^2 a = 0

Таким образом, мы доказали, что выражение (1 + tg^2 a) cos^2 a + sin^2 a (1 + ctg^2 a) равно 2.