Question

Решите Дифференциальное уравнение xy'-9y=x

Answer 1

Посмотрите предложенное решение (см. вложение). Ответ (отмечено зелёным) можно упростить.

Answer 2

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение, воспользуемся методом переменных. Для этого представим уравнение в виде:

xy' - 9y = x.

Теперь разделим обе части уравнения на x:

y' - (9/y)x = 1.

Полученное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Для решения такого уравнения можно использовать метод интегрирующего множителя.

Найдем интегрирующий множитель (I) для члена (-9/y):

I = e^(∫(-9/y)dx).

Для интегрирования члена (-9/y) надо вынести константу из-под интеграла:

I = e^(-9∫(1/y)dx).

Интеграл ∫(1/y)dx равен ln|y| + C, где C - произвольная константа:

I = e^(-9(ln|y| + C)).

Умножим обе части уравнения на интегрирующий множитель:

e^(-9(ln|y| + C))(y' - (9/y)x) = e^(-9(ln|y| + C)).

Теперь применим правило производной произведения для левой части уравнения:

(e^(-9(ln|y| + C))y') - 9x e^(-9(ln|y| + C))/y = e^(-9(ln|y| + C)).

Упростим полученное уравнение:

(e^(-9ln|y| - 9C)y') - 9x e^(-9ln|y| - 9C)/y = e^(-9ln|y| - 9C).

Так как e^(-9ln|y| - 9C) = e^(-9ln|y|) * e^(-9C), а e^(-9ln|y|) = 1/y, получим:

(1/y * y') - 9x/y = e^(-9C).

Далее перепишем уравнение:

y'/y - 9x/y = e^(-9C).

Теперь заметим, что левая часть уравнения соответствует производной от логарифма модуля y по x:

d/dx (ln|y|) - 9x/y = e^(-9C).

Таким образом, получаем:

d/dx (ln|y|) = 9x/y + e^(-9C).

Теперь проинтегрируем обе части уравнения по x:

∫d/dx (ln|y|) dx = ∫9x/y + e^(-9C) dx.

Получим:

ln|y| = 9x^2/2y + e^(-9C)x + K,

где K - произвольная константа интегрирования.

В