Question

помогите, пожалуйста, решить, с подробным, пошаговым объяснением, очень прошу. Задание: решить уравнение над полем комплексных чисел x^2-(2+i)x+(-1+7i)=0

Answer 1

D = (2+i)^2 - 4*(-1+7i) = 4+4i+(i^2) + 4 - 28i = 8 - 24i - 1 = 7 - 24i,
$x = \frac{2+i + \sqrt{D}}{2}$ (формула-1)
$\sqrt{D}$ может принимать несколько значений.
$\sqrt{D} = w = u+vi,$
u, v - считаем вещественными.
$D = w^2 = (u+vi)^2 = u^2 +2uvi + v^2 \cdot i^2 = u^2 - v^2 + 2uvi$
$7-24i = u^2 - v^2 + 2uvi$
Имеем систему из двух (вещественных) уравнений:
$7= u^2 - v^2$ и
$-24 = 2uv$.
Решаем ее.
$uv=-12, v = -12/u,$
$7 = u^2 - (\frac{-12}{u})^2,$
$u^2 - \frac{144}{u^2} = 7$
$u^4 - 7u^2 - 144 = 0$
Это биквадратное уравнение.
$D_2 = 7^2 + 4\cdot 144 = 625 = 25^2$
$u^2 = \frac{7 \pm 25}{2}$
Отрицательное значение для u^2 здесь не подходит (ведь u - вещественное)
$u^2 = \frac{32}{2} = 16$
$u = \pm 4$.
$u_1 = 4, v_1 = -\frac{12}{4} = -3$
$u_2 = -4, v_2 = -\frac{12}{-4} = 3$
$\sqrt{D} = u + vi$.
Теперь по (формуле -1), получаем
$x_1 = \frac{ 2+i + 4 - 3i}{2} = \frac{6-2i}{2} = 3-i$
$x_2 = \frac{ 2+i - 4 + 3i}{2} = \frac{-2+4i}{2} = -1+2i,$.

Answer 2

Для решения этого квадратного уравнения, мы можем использовать формулу решения квадратных уравнений для комплексных чисел:

Для уравнения вида ax^2 + bx + c = 0, где a, b и c - комплексные числа, формула для решения x выглядит следующим образом:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Давайте применим эту формулу для нашего уравнения x^2 - (2+i)x + (-1+7i) = 0:

a = 1, b = -(2+i), c = (-1+7i)

x = (-(2+i) ± √((2+i)^2 - 4(1)(-1+7i))) / (2(1))

x = (-(2+i) ± √(4 - 4i + 1 + 4 - 28i)) / 2

x = (-(2+i) ± √(-24 - 24i)) / 2

Теперь давайте вычислим квадратный корень из -24 - 24i. Для этого мы можем использовать формулу Эйлера для представления комплексного числа в полярной форме:

z = r(cosθ + i sinθ)

где r - модуль (расстояние от начала координат до точки на комплексной плоскости) и θ - аргумент (угол между положительным направлением оси x и линией, соединяющей начало координат с точкой на комплексной плоскости).

Модуль комплексного числа можно вычислить по формуле:

r = √(a^2 + b^2)

Аргумент можно вычислить по формуле:

θ = arctan(b/a)

В нашем случае, a = -24, b = -24i, поэтому:

r = √((-24)^2 + (-24)^2) = √(1152) = 12√2

θ = arctan((-24i) / (-24)) = arctan(i) = π/2

Таким образом, комплексное число -24 - 24i можно записать в полярной форме как:

z = 12√2(cos(π/2) + i sin(π/2)) = 12√2i

Возвращаясь к нашему уравнению, мы можем вычислить решения:

x = (-(2+i) ± 12√2i) / 2

x1 = (-2+i) / 2 + 6√2i

x2 = (-2+i) / 2 - 6√2i

Таким образом, решениями нашего уравнения являются x1 = (-2+i) / 2 + 6√2i и x2 = (-2+i) / 2 - 6√2i