Question

Докажите, что сумма: 1) Семи последовательных натуральных чисел делится на 7 2) Четырёх последовательных нечетных чисел делится на 8 Помогите пожалуйста!!!

Answer 1

1) Если первое число обозначим через n, то следующие будут n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5, n + 6

Найдем их сумму:

S = n + n + 1 + n + 2 + n + 3 + n + 4 + n + 5 + n + 6 = 7n + 21 = 7(n + 3)

т.е. делится на 7

2. Первое нечетное число зададим как 2n - 1, где n - натуральное.

Т.к. каждое следующее нечетное число на два больше предыдущего, то следующими числами будут: 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5

Их сумма:

S = 2n - 1 + 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 = 8n + 8 = 8(n + 1)

т.е делится на 8

Answer 2

1. Докажем утверждение, что сумма любых семи последовательных натуральных чисел делится на 7.

Пусть $n$ - любое натуральное число, тогда последовательность из семи натуральных чисел, начинающаяся с $n$, выглядит следующим образом: $n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5, n+6$.

Сумма этой последовательности равна $S = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) + (n+5) + (n+6) = 7n + 21$. Мы можем вынести 7 за скобки и получим $S = 7(n+3)$. Таким образом, $S$ является произведением 7 и некоторого целого числа $(n+3)$, а значит, $S$ делится на 7.

Таким образом, сумма любых семи последовательных натуральных чисел делится на 7.

2. Докажем утверждение, что сумма четырех последовательных нечетных чисел делится на 8.

Пусть $n$ - любое нечетное натуральное число, тогда последовательность из четырех последовательных нечетных чисел, начинающаяся с $n$, выглядит следующим образом: $n, n+2, n+4, n+6$.

Сумма этой последовательности равна $S = n + (n+2) + (n+4) + (n+6) = 4n + 12$. Мы можем вынести 4 за скобки и получим $S = 4(n+3)$. Таким образом, $S$ является произведением 4 и некоторого целого числа $(n+3)$, а значит, $S$ делится на 8.

Таким образом, сумма любых четырех последовательных нечетных чисел делится на 8.