Question

Известно, что при любом положительном p все корни уравнения ax^2+bx+c+p=0 действительны и положительны. Найдите коэффициент a .

Answer 1

A = 0.

Если a > 0, то при больших p парабола y = ax^2 + bx + c + p уедет вверх и рано или поздно у неё не будет точек касания с осью Ox, а у уравнения не будет корней.
Если a < 0, то при больших p меньший корень станет отрицательным, так как произведение корней (c + p)/a станет отрицательным.

Answer 2

Nelle987 права, но не совсем.
Действительно, если a > 0 (ветви направлены вверх), то при достаточно большом p корней не будет совсем, так как вершина станет выше оси Ох.
Если же a < 0 (ветви направлены вниз), то при большом p корень x1
станет отрицательным, по теореме Виета x1*x2 = (c+p)/a < 0.
Но при а = 0 уравнение превращается в линейное:
bx + c + p = 0
x = -(c+p)/b
То есть при положительных b, c и p корень будет отрицательным.
Поэтому ответ: ни при каком.

Answer 3

Для нахождения коэффициента a мы можем воспользоваться тем, что все корни уравнения действительны и положительны. Это означает, что дискриминант должен быть неотрицательным, то есть:

b^2 - 4ac ≥ 0

Также известно, что уравнение имеет корни, поэтому дискриминант должен быть строго положительным:

b^2 - 4ac > 0

Мы можем использовать эти два неравенства для определения a:

b^2 - 4ac ≥ 0 (1)

b^2 - 4ac > 0 (2)

Умножим обе части неравенств (1) и (2) на положительное число p:

pb^2 - 4apc ≥ 0 (3)

pb^2 - 4apc > 0 (4)

Заметим, что левые части неравенств (3) и (4) соответствуют дискриминанту уравнения ax^2 + bx + c + p = 0 с коэффициентами a, b и c. Так как все корни этого уравнения действительны и положительны, то его дискриминант должен быть положительным. Это означает, что неравенство (4) выполнено для любого положительного p.

Теперь рассмотрим неравенство (3). Оно должно быть выполнено для любого положительного p, а значит, выражение pb^2 - 4apc должно быть неотрицательным для любого p. Однако если мы возьмем очень маленькое значение p, то выражение pb^2 станет очень маленьким, а выражение 4apc останется фиксированным. Это значит, что для достаточно маленьких значений p выражение pb^2 - 4apc станет отрицательным, что противоречит неравенству (3).

Таким образом, мы пришли к выводу, что коэффициент a должен быть равен нулю, чтобы уравнение ax^2 + bx + c + p = 0 имело только действительные и положительные корни при любом положительном p.